Cálculo de integrales indefinidas.

Integrales Inmediatas

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Tipos} & \textbf{Función} & \textbf{Integral} & \textbf{Ejemplo} \\
\hline
\text{Constante} & f(x)=k & \int k\,dx = kx + C & f(x)=5 \Rightarrow \int 5\,dx = 5x + C \\
\hline
\text{Potencias} & f(x)=x^{n}, \, n \neq -1 & \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C & f(x)=x^{4} \Rightarrow \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C \\
\hline
\text{Raíces} & f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n} & \int \sqrt[n]{x}\,dx = \frac{x^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{1}{n}+1} + C & f(x)=\sqrt[5]{x} \Rightarrow \int \sqrt[5]{x}\,dx = \frac{x^{6/5}}{6/5} + C \\
\hline
\text{Proporcionalidad inversa} & f(x)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C & f(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C \\
\hline
\text{Exponenciales} & f(x)=e^{x} & \int e^{x}\,dx = e^{x} + C & f(x)=e^{x} \Rightarrow \int e^{x}\,dx = e^{x} + C \\
& f(x)=a^{x}, \, a>0 & \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C & f(x)=5^{x} \Rightarrow \int 5^{x}\,dx = \frac{5^{x}}{\ln 5} + C \\
\hline
{\text{Trigonométricas}}
& f(x)=sen\, x & \int sen\, x\,dx = -\cos x + C & f(x)=sen\, x \Rightarrow \int sen\, x\,dx = -\cos x + C \\
& f(x)=\cos x & \int \cos x\,dx = sen\, x + C & f(x)=\cos x \Rightarrow \int \cos x\,dx = sen\, x + C \\
& f(x)=1+tg^{2}\, x = \frac{1}{\cos^{2} x} & \int (1 + tg^{2}\, x)\,dx = tg\, x + C & f(x)=1 + tg^{2}\, x \Rightarrow \int (1 + tg^{2}\, x)\,dx = tg\, x + C \\
& f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = arcsen\, x + C & f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = arcsen\, x + C \\
& f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \arccos x + C & f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} \Rightarrow \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \arccos x + C \\
& f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = arctg\, x + C & f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = arctg\,x + C \\
\hline
\end{array}
\]

Reglas de Integración

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Tipos} & \textbf{Función} & \textbf{Integral} & \textbf{Ejemplo} \\
\hline
\text{Sumas y restas} &
f(x) = g(x) \pm h(x) &
\int f(x)\,dx = \int g(x)\,dx \pm \int h(x)\,dx &
\int (x^{4} + x)\,dx = \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + C \\
\hline
\text{Producto por un escalar} &
f(x) = k \cdot h(x) &
\int f(x)\,dx = k \int h(x)\,dx &
\int 3x^{3}\,dx = \frac{3x^{4}}{4} + C \\
\hline
\text{Compuesta (Regla de la cadena)} &
\begin{array}{c}
g(h(x)) = g(x) \circ h(x) \\
f(x) = g(h(x)) \cdot h'(x)
\end{array} &
\int g(h(x)) \cdot h'(x)\,dx = G(h(x)) + C &
\int sen^{3}\, x \cos x \, dx = \frac{sen^{4}\, x}{4} + C \\
\hline
\end{array}
\]

Métodos Algebraicos de Integración

1. Integración de funciones racionales

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se efectúa una división de polinomios.
Si el grado del denominador es mayor, se factoriza y se aplica descomposición en fracciones simples:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{x-a_2} + \dots + \frac{A_n}{x-a_n}.
\]

2. Integración por partes

Se basa en la fórmula:
\[
\int u \, dv = u v - \int v \, du
\]
Preferencia para elegir u: (ALPES) primero (A) arcosenos, luego (L) logaritmos, (P) polinomios, (E) exponenciales y finalmente (S) senos y cosenos.

3. Cambio de variable

Se realiza una sustitución \( t = g(x) \) con \( dt = g'(x) dx \), de forma que la integral en \( x \) se convierte en una integral más simple en \( t \).