Derivabilidad. Teoremas.

Puesto que la derivada es un límite, tiene sentido considerar las derivadas laterales. Por tanto, una función es derivable en un punto si y solo si existen la derivada por la izquierda y por la derecha en ese punto y éstas coinciden.

\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} =  \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
\]

Relación entre continuidad y derivabilidad:

• Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria pero no suficiente que sea continua en ese punto. Es decir, una función puede ser continua pero no derivable (por ejemplo, \( f(x) = |x| \) en \( x=0 \)).
• Una función derivable en un un punto es continua en ese punto.

Puntos no derivables

Una función continua puede no ser derivable en:

• Puntos angulosos o cúspides: \( f(x) = |x| \) en \( x = 0 \).
• Puntos con tangente vertical: por ejemplo \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) en \( x = 0 \). (Su derivada es una función racional donde el denominador se hace 0 en ese punto)
• Discontinuidades: si la función no es continua, tampoco puede ser derivable.

Teorema de Rolle

Enunciado: Si \( f \) es continua en \( [a, b] \), derivable en \( (a, b) \) y \( f(a) = f(b) \),
entonces existe \( c \in (a, b) \) tal que: \( f'(c) = 0 \)

Interpretación: la función tiene al menos un punto con tangente horizontal entre \( a \) y \( b \).

Ejemplos típicos:

Sea la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en el intervalo \( [1, 3] \). Verifica si se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle y determina el valor de \( c \in (1, 3) \) tal que \( f'(c) = 0 \).

Solución:

1. Comprobamos la continuidad:
   \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) es un polinomio, por tanto es continua en todo \( \mathbb{R} \), y en particular en \( [1, 3] \).
2. Comprobamos la derivabilidad:
   Es derivable en \( (1, 3) \) porque es un polinomio.
3. Comprobamos el valor de la función en los extremos:
   \[
   f(1) = 1 - 4 + 3 = 0, \quad f(3) = 9 - 12 + 3 = 0.
   \]
   Como \( f(1) = f(3) \), se cumple la tercera condición del Teorema de Rolle.
4. Aplicamos el Teorema de Rolle:
   Existe al menos un \( c \in (1, 3) \) tal que \( f'(c) = 0 \).
5. Calculamos \( f'(x) \):
   \[
   f'(x) = 2x - 4.
   \]
   Igualamos a cero:
   \[
   2x - 4 = 0 \implies x = 2.
   \]
   Por tanto, \( c = 2 \) es el punto donde la tangente es horizontal.

Indicar un punto en el que la función  \( f(x) = 2x - sen\,x \)  tome el valor de 0, y demostrar que esta función solo se anula en ese punto.

Solución:

Consideremos la función continua \( f(x) = 2x - sen\,x \). Evaluamos la función:
\[
f(0) = 2 \cdot 0 - sen 0 = 0.
\]
Vemos que \( x = 0 \) es ya una raíz de la función.

Para demostrar que no hay más soluciones (unicidad de la raíz), podemos estudiar la monotonía de la función o aplicar el teorema de Rolle:
\[
f'(x) = 2 - \cos x.
\]
Como \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), se cumple que:
\[
f'(x) \geq 2 - 1 = 1 > 0.
\]
Es decir, \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).

Esto significa que \( f(x) \) es estrictamente creciente en todo \( \mathbb{R} \), por lo que no puede cortar el eje \( x \) más de una vez.

Como \( f(0) = 0 \) y la función es estrictamente creciente, podemos concluir que \( x = 0 \) es el único punto donde \( f(x) = 0 \).

Aplicando el Th. de Rolle:

Supongamos que la función tiene dos raíces distintas \( x_1 \) y \( x_2 \) con \( x_1 < x_2 \), es decir: \[ f(x_1) = f(x_2) = 0. \] Como \( f \) es continua en \( [x_1, x_2] \) y derivable en \( (x_1, x_2) \) (es una función polinómica y trigonométrica), podemos aplicar el Teorema de Rolle.

Por Rolle, existiría un punto \( c \in (x_1, x_2) \) tal que:
\[
f'(c) = 0.
\]

Calculamos la derivada:
\[
f'(x) = 2 - \cos x.
\]
Como \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), tenemos:
\[
2 - \cos x \geq 2 - 1 = 1 > 0,
\]
lo que significa que \( f'(x) \neq 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).

La derivada nunca se anula (contradicción), por lo que es imposible que exista un punto \( c \) con \( f'(c) = 0 \). Esto contradice la hipótesis de que hubiera dos raíces distintas.

Por tanto, la función \( f(x) = 2x - sen\, x \) solo puede anularse en un único punto, que es \( x = 0 \).