Problemas de optimización

Metodología para optimizar:

1. Identificar la función objetivo (área, volumen, coste...). Puede ser que tenga una o dos variables. Analizar su dominio.
2. Relacionar las variables del enunciado para posteriormente despejar una y expresar la función objetivo en una sola variable.
3. Calcular \( f'(x) \), encontrar puntos críticos y usar \( f''(x) \) para verificar si es máximo o mínimo.

Ejemplo clásico: Caja de volumen máximo con una lámina de 4×4 dm cortando cuadrados de tamaño \( x \).

1. Identificación de variables y función objetivo

El lado inicial de la lámina es \( 4 \, \mathrm{dm} \).
Al cortar cuadrados de tamaño \( x \) en cada esquina, la base de la caja tendrá dimensiones:
\[
(4 - 2x) \times (4 - 2x),
\]
y la altura será \( x \).

Por tanto, el volumen de la caja viene dado por:
\[
V(x) = (4 - 2x)^2 \cdot x
\]

Para que la caja exista, \( x \) debe ser positivo y menor que 2, es decir:
\[
0 < x < 2 \]

2. Derivada y puntos críticos

Calculamos la derivada de \( V(x) \):
\[
V(x) = (4 - 2x)^2 \cdot x,
\]
\[
V'(x) = 2(4 - 2x)(-2) \cdot x + (4 - 2x)^2
\]
Simplificamos:
\[
V'(x) = -4x(4 - 2x) + (4 - 2x)^2 = (4 - 2x)(-4x + 4 - 2x)
\]
\[
V'(x) = (4 - 2x)(4 - 6x)
\]
Igualamos a cero:
\[
(4 - 2x)(4 - 6x) = 0 \implies x = 2 \quad \text{o} \quad x = \frac{2}{3}
\]
Como \( x = 2 \) no está en el dominio (sería una caja plana), tomamos \( x = \frac{2}{3} \, \mathrm{dm} \).

3. Verificación del máximo

Calculamos la segunda derivada:
\[
V''(x) = -2(4 - 6x) + (4 - 2x)(-6)
\]
En \( x = \frac{2}{3} \):
\[
V''\left(\frac{2}{3}\right) = -2 \left(4 - 6 \cdot \frac{2}{3}\right) - 6 \left(4 - 2 \cdot \frac{2}{3}\right) < 0 \] Como \( V''(2/3) < 0 \), el volumen es máximo en \( x = \frac{2}{3} \, \mathrm{dm} \).

4. Volumen máximo

Sustituimos \( x = \frac{2}{3} \) en \( V(x) \):
\[
V\left(\frac{2}{3}\right) = \left(4 - 2 \cdot \frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{8}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{128}{27} \, \mathrm{dm}^3 \approx 4,74 \, \mathrm{dm}^3.
\]

5. Conclusión

Para obtener el volumen máximo, se deben cortar cuadrados de lado \( x = \frac{2}{3} \, \mathrm{dm} \) en cada esquina, y el volumen máximo será aproximadamente \( 4,74 \, \mathrm{dm}^3 \).