Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 07

Bases de \(V_2\)

Aprende a expresar vectores como combinaciones lineales, reconocer cuándo son dependientes o independientes, comprobar si forman una base y calcular las coordenadas de un vector en distintos sistemas de referencia.

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Dos direcciones independientes permiten describir cualquier vector del plano

En este tema no estudiaremos la teoría abstracta de los espacios vectoriales. Trabajaremos de forma práctica con los vectores del plano, que forman \(V_2\), y aprenderemos a decidir cuándo dos vectores sirven como sistema de referencia.

1Reconocer dependencia e independencia

2Comprobar sistemas generadores y bases

3Calcular coordenadas y cambios de base

Construir vectores a partir de otros

Combinaciones lineales

Una combinación lineal de varios vectores se obtiene multiplicando cada uno de ellos por un número real y sumando después los resultados.

\(a\)

Primer coeficiente

El número real \(a\) indica cuántas veces tomamos el primer vector.

\[ a\vec u \]

\(b\)

Segundo coeficiente

El número real \(b\) multiplica al segundo vector.

\[ b\vec v \]

Vector resultante

La suma de los dos múltiplos produce otro vector del plano.

\[ \vec w=a\vec u+b\vec v \]

iLos coeficientes pueden ser positivos, negativos, fraccionarios o cero. No tienen que ser números naturales.

Ejemplo 1 · Cálculo directo

Dados \(\vec u=(2,-1)\) y \(\vec v=(-1,3)\), calcula \(3\vec u+2\vec v\)

Multiplicamos cada vector por su coeficiente:

\[ 3\vec u=3(2,-1)=(6,-3) \]

\[ 2\vec v=2(-1,3)=(-2,6) \]

Sumamos componente a componente:

\[ 3\vec u+2\vec v=(6,-3)+(-2,6) \]

\[ \boxed{3\vec u+2\vec v=(4,3)} \]

Ejemplo 2 · Problema inverso

Expresa \(\vec w=(5,1)\) como combinación lineal de \(\vec u=(1,1)\) y \(\vec v=(2,-1)\)

Buscamos \(a,b\in\mathbb R\) tales que:

\[ (5,1)=a(1,1)+b(2,-1) \]

Operamos e igualamos las componentes:

\[ (5,1)=(a+2b,\;a-b) \]

\[ \begin{cases} a+2b=5\\ a-b=1 \end{cases} \]

Restando la segunda ecuación de la primera:

\[ 3b=4\quad\Longrightarrow\quad b=\frac43 \]

Después:

\[ a=1+b=1+\frac43=\frac73 \]

\[ \boxed{\vec w=\frac73\vec u+\frac43\vec v} \]

¿Aportan una o dos direcciones?

Dependencia e independencia lineal

Dos vectores del plano son linealmente dependientes cuando uno es múltiplo del otro. En ese caso tienen la misma dirección. Si no son proporcionales, son linealmente independientes.

Vectores dependientes

Uno puede obtenerse multiplicando el otro por un número real.

\[ \vec v=\lambda\vec u \]

Geométricamente, son paralelos.

Vectores independientes

Ninguno es múltiplo del otro y aportan dos direcciones distintas.

\[ \vec v\neq\lambda\vec u \quad\text{para todo }\lambda\in\mathbb R \]

Geométricamente, no son paralelos.

iEl vector nulo es dependiente con cualquier otro vector. No aporta ninguna dirección nueva y nunca puede formar parte de una base.

≠0

Criterio del determinante

Si \(\vec u=(u_1,u_2)\) y \(\vec v=(v_1,v_2)\), calculamos:

\[ \det(\vec u,\vec v)= \begin{vmatrix} u_1&v_1\\ u_2&v_2 \end{vmatrix} =u_1v_2-u_2v_1 \]

Interpretación

\[ \det(\vec u,\vec v)=0 \Longleftrightarrow \text{dependientes} \]

\[ \det(\vec u,\vec v)\neq0 \Longleftrightarrow \text{independientes} \]

Ejemplo 3 · Vectores dependientes

Estudia la relación entre \(\vec u=(2,3)\) y \(\vec v=(4,6)\)

Observamos que:

\[ (4,6)=2(2,3) \]

También podemos comprobarlo con el determinante:

\[ \begin{vmatrix} 2&4\\ 3&6 \end{vmatrix} =2\cdot6-3\cdot4=12-12=0 \]

\[ \boxed{\vec u\text{ y }\vec v\text{ son linealmente dependientes}} \]

Ejemplo 4 · Vectores independientes

Estudia la relación entre \(\vec u=(1,2)\) y \(\vec v=(3,-1)\)

\[ \begin{vmatrix} 1&3\\ 2&-1 \end{vmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot3=-1-6=-7 \]

Como el determinante no es cero, los vectores no son proporcionales.

\[ \boxed{\vec u\text{ y }\vec v\text{ son linealmente independientes}} \]

Obtener todos los vectores del plano

Sistemas generadores de \(V_2\)

Un conjunto de vectores genera \(V_2\) cuando cualquier vector del plano puede escribirse como combinación lineal de ellos.

Una única dirección

Un vector no nulo y todos sus múltiplos solo permiten construir vectores paralelos a él.

\[ \{\lambda\vec u:\lambda\in\mathbb R\} \]

Geométricamente, generan una recta que pasa por el origen.

Dos direcciones distintas

Dos vectores independientes permiten construir cualquier vector del plano.

\[ \vec w=a\vec u+b\vec v \]

Por tanto, generan todo \(V_2\).

Situación	Determinante	Qué generan
Dos vectores proporcionales	\(\det(\vec u,\vec v)=0\)	Como máximo, una recta.
Dos vectores no proporcionales	\(\det(\vec u,\vec v)\neq0\)	Todo el plano \(V_2\).

Ejemplo 5 · Comprobar un sistema generador

¿Generan \(V_2\) los vectores \(\vec u=(2,1)\) y \(\vec v=(-1,3)\)?

Calculamos el determinante:

\[ \begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&3 \end{vmatrix} =2\cdot3-1\cdot(-1)=7 \]

Como \(7\neq0\), los vectores son independientes y generan todo el plano.

\[ \boxed{\{(2,1),(-1,3)\}\text{ es un sistema generador de }V_2} \]

!Tener dos vectores no garantiza generar el plano. Si son proporcionales, ambos aportan la misma dirección.

Un sistema de referencia para el plano

Bases de \(V_2\)

Una base de \(V_2\) está formada por dos vectores linealmente independientes. Esos dos vectores generan todo el plano y permiten expresar cada vector de una única manera.

Dos vectores

En el plano, una base está formada exactamente por dos vectores.

Independientes

No son proporcionales y aportan dos direcciones diferentes.

\(V_2\)

Generadores

Sus combinaciones lineales permiten construir cualquier vector del plano.

\[ \boxed{ B=\{\vec u,\vec v\}\text{ es base de }V_2 \Longleftrightarrow \det(\vec u,\vec v)\neq0 } \]

Base canónica

Es la base que utilizamos habitualmente para escribir las coordenadas cartesianas.

\[ B_c=\{\vec i,\vec j\} =\{(1,0),(0,1)\} \]

Cualquier otra base

No es necesario que sus vectores sean perpendiculares ni unitarios. Solo deben ser independientes.

\[ B=\{(u_1,u_2),(v_1,v_2)\}, \qquad \det(B)\neq0 \]

Ejemplo 6 · Base con un parámetro

Determina para qué valores de \(m\) los vectores \((m,2)\) y \((3,1)\) forman una base de \(V_2\)

Calculamos el determinante:

\[ \begin{vmatrix} m&3\\ 2&1 \end{vmatrix} =m-6 \]

Para formar una base, el determinante debe ser distinto de cero:

\[ m-6\neq0 \]

\[ \boxed{m\neq6} \]

Cuando \(m=6\), se obtiene \((6,2)=2(3,1)\), de modo que los vectores son dependientes.

Expresar un vector respecto de una base

Coordenadas de un vector en una base

Si \(B=\{\vec u,\vec v\}\) es una base, cualquier vector \(\vec w\) puede escribirse de forma única como \(\vec w=a\vec u+b\vec v\). Los números \(a\) y \(b\) son sus coordenadas respecto de \(B\).

\[ \vec w=a\vec u+b\vec v \quad\Longleftrightarrow\quad [\vec w]_B=(a,b) \]

Paso 1Plantear

Escribir la combinación lineal

\[ \vec w=a\vec u+b\vec v \]

Paso 2Igualar

Comparar las componentes

Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas \(a\) y \(b\).

Paso 3Resolver

Interpretar la solución

\[ [\vec w]_B=(a,b) \]

Ejemplo 7 · Hallar coordenadas

Sea \(B=\{(1,1),(2,-1)\}\). Calcula las coordenadas de \(\vec w=(7,1)\) respecto de \(B\)

Planteamos:

\[ (7,1)=a(1,1)+b(2,-1) \]

Igualamos las componentes:

\[ \begin{cases} a+2b=7\\ a-b=1 \end{cases} \]

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[ 3b=6\quad\Longrightarrow\quad b=2 \]

Sustituimos en \(a-b=1\):

\[ a-2=1\quad\Longrightarrow\quad a=3 \]

\[ \boxed{[\vec w]_B=(3,2)} \]

Comprobación:

\[ 3(1,1)+2(2,-1)=(3,3)+(4,-2)=(7,1) \]

Ejemplo 8 · Recuperar el vector

Sea \(B=\{(2,1),(-1,3)\}\). Calcula \(\vec w\) sabiendo que \([\vec w]_B=(2,-1)\)

Las coordenadas indican directamente los coeficientes:

\[ \vec w=2(2,1)-1(-1,3) \]

\[ \vec w=(4,2)+(1,-3) \]

\[ \boxed{\vec w=(5,-1)} \]

!No confundas el vector con sus coordenadas en una base. La igualdad \([\vec w]_B=(3,2)\) no significa necesariamente que \(\vec w=(3,2)\) en la base canónica.

El vector es el mismo; cambia su descripción

Coordenadas en distintas bases y cambio de base

Un vector no cambia cuando cambiamos de base. Lo que cambia son los coeficientes necesarios para expresarlo con los vectores de cada sistema de referencia.

Base inicial

Conocemos las coordenadas del vector respecto de \(B=\{\vec u,\vec v\}\).

\[ [\vec w]_B=(a,b) \]

\[ \vec w=a\vec u+b\vec v \]

Base final

Expresamos el mismo vector respecto de \(B'=\{\vec r,\vec s\}\).

\[ \vec w=c\vec r+d\vec s \]

\[ [\vec w]_{B'}=(c,d) \]

\[ \boxed{ [\vec w]_B \longrightarrow \vec w \longrightarrow [\vec w]_{B'} } \]

iEn 1.º de Bachillerato utilizaremos el procedimiento más seguro: pasar primero al vector escrito en la base canónica y, después, calcular sus coordenadas en la nueva base.

Ejemplo 9 · Cambio completo de base

Sean \(B=\{(1,1),(2,-1)\}\) y \(B'=\{(1,0),(1,2)\}\). Si \([\vec w]_B=(3,2)\), calcula \([\vec w]_{B'}\)

1. Reconstruimos el vector habitual:

\[ \vec w=3(1,1)+2(2,-1) \]

\[ \vec w=(3,3)+(4,-2)=(7,1) \]

2. Expresamos \((7,1)\) en la base \(B'\):

\[ (7,1)=c(1,0)+d(1,2) \]

\[ (7,1)=(c+d,\;2d) \]

3. Igualamos las componentes:

\[ \begin{cases} c+d=7\\ 2d=1 \end{cases} \]

\[ d=\frac12, \qquad c=7-\frac12=\frac{13}{2} \]

\[ \boxed{ [\vec w]_{B'}= \left(\frac{13}{2},\frac12\right) } \]

4. Comprobamos:

\[ \frac{13}{2}(1,0)+\frac12(1,2) =\left(\frac{13}{2},0\right)+\left(\frac12,1\right) =(7,1) \]

Elegir la herramienta adecuada

Estrategia general y ejercicios globales

Antes de calcular, identifica qué pregunta el ejercicio. Dependencia, generación y bases se estudian con el determinante; las coordenadas se obtienen mediante una combinación lineal y un sistema.

Pregunta 1Determinante

¿Son independientes o forman una base?

Coloca las coordenadas en un determinante.
Calcula \(u_1v_2-u_2v_1\).
Interpreta si el resultado es cero.

Pregunta 2Sistema

¿Cuáles son las coordenadas?

Plantea \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).
Iguala las dos componentes.
Resuelve e interpreta \((a,b)\).

Pregunta 3Dos etapas

¿Hay que cambiar de base?

Reconstruye el vector en la base canónica.
Plantea otra combinación en la base final.
Resuelve y comprueba.

Ejercicio global 1 · Parámetro

Determina para qué valor de \(k\) los vectores \((k,2)\) y \((3,6)\) son dependientes

\[ \begin{vmatrix} k&3\\ 2&6 \end{vmatrix} =6k-6 \]

Imponemos la condición de dependencia:

\[ 6k-6=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=1} \]

En efecto, para \(k=1\), se cumple \((3,6)=3(1,2)\).

Ejercicio global 2 · Base y coordenadas

Comprueba que \(B=\{(2,-1),(1,2)\}\) es una base y calcula \([(5,0)]_B\)

1. Comprobamos que es una base:

\[ \begin{vmatrix} 2&1\\ -1&2 \end{vmatrix} =4+1=5\neq0 \]

2. Calculamos las coordenadas:

\[ (5,0)=a(2,-1)+b(1,2) \]

\[ \begin{cases} 2a+b=5\\ -a+2b=0 \end{cases} \]

De la segunda ecuación, \(a=2b\). Sustituyendo en la primera:

\[ 4b+b=5 \quad\Longrightarrow\quad b=1,\qquad a=2 \]

\[ \boxed{[(5,0)]_B=(2,1)} \]

Ejercicio global 3 · Interpretación

Explica por qué \(\{(2,-1),(6,-3)\}\) no es una base de \(V_2\)

El segundo vector es múltiplo del primero:

\[ (6,-3)=3(2,-1) \]

Por tanto, los vectores son dependientes y su determinante es cero:

\[ \begin{vmatrix} 2&6\\ -1&-3 \end{vmatrix} =-6+6=0 \]

Sus combinaciones lineales tienen la forma:

\[ a(2,-1)+b(6,-3)=(a+3b)(2,-1) \]

\[ \boxed{\text{Solo generan una recta y no todo }V_2} \]

Qué debes recordar

Una base de \(V_2\) está formada por dos vectores que aportan direcciones diferentes

El determinante permite reconocer rápidamente la independencia. Una vez elegida una base, las coordenadas de un vector son los coeficientes de la combinación lineal que lo construye.

Combinación lineal\(\vec w=a\vec u+b\vec v\).

DependenciaDeterminante cero y una sola dirección.

Base de \(V_2\)Dos vectores con determinante no nulo.

Coordenadas\([\vec w]_B=(a,b)\) cuando \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).

Errores frecuentes

Confundir vector y coordenadas\(\vec w=(x,y)\) y \([\vec w]_B=(a,b)\) solo coinciden cuando \(B\) es la base canónica.

Alterar el orden de la baseLa primera coordenada multiplica al primer vector y la segunda, al segundo.

Decidir por una sola componentePara ser proporcionales debe aparecer el mismo factor en las dos componentes.

No comprobar el determinanteAntes de hablar de coordenadas respecto de dos vectores, confirma que forman una base.

Usar determinante en lugar de sistemaEl determinante decide independencia; no proporciona directamente las coordenadas.

No comprobar el resultadoSustituye los coeficientes obtenidos en la combinación lineal original.

Resumen del tema

Dos vectores del plano son dependientes si son proporcionales y, por tanto, tienen determinante cero. Si el determinante es distinto de cero, son independientes, generan \(V_2\) y forman una base. Las coordenadas de un vector respecto de una base son los coeficientes de la combinación lineal que permite construirlo. Para cambiar de base, reconstruimos primero el vector en coordenadas habituales y después lo expresamos en la nueva base.

Antes de continuar

Calculo combinaciones lineales.
Reconozco dependencia e independencia.
Compruebo si dos vectores forman una base.
Calculo coordenadas mediante un sistema.
Realizo cambios de base paso a paso.