01
Punto de partida
La identidad trigonométrica fundamental
En la circunferencia goniométrica, el punto asociado a un ángulo
\(\alpha\) tiene coordenadas
\(P(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)\).
Como la circunferencia tiene radio \(1\), sus coordenadas satisfacen
la ecuación \(x^2+y^2=1\).
i
La expresión \(\operatorname{sen}^2\alpha\) significa
\((\operatorname{sen}\alpha)^2\). No significa
\(\operatorname{sen}(\alpha^2)\).
sen
Despejar el seno
\[
\operatorname{sen}^2\alpha
=
1-\cos^2\alpha
\]
\[
\operatorname{sen}\alpha
=
\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}
\]
El signo se determina mediante el cuadrante en el que se encuentra
el ángulo.
cos
Despejar el coseno
\[
\cos^2\alpha
=
1-\operatorname{sen}^2\alpha
\]
\[
\cos\alpha
=
\pm\sqrt{1-\operatorname{sen}^2\alpha}
\]
De nuevo, el cuadrante permite elegir entre el signo positivo
y el negativo.
Ejemplo resuelto
Sabiendo que
\(\cos\alpha=-\dfrac{12}{13}\)
y que \(\alpha\) pertenece al tercer cuadrante, calcula
\(\operatorname{sen}\alpha\)
Partimos de la identidad fundamental:
\[
\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\]
Sustituimos el valor del coseno:
\[
\operatorname{sen}^2\alpha
+
\left(-\frac{12}{13}\right)^2
=
1
\]
\[
\operatorname{sen}^2\alpha
+
\frac{144}{169}
=
1
\]
\[
\operatorname{sen}^2\alpha
=
\frac{169}{169}-\frac{144}{169}
=
\frac{25}{169}
\]
Extraemos la raíz cuadrada:
\[
\operatorname{sen}\alpha
=
\pm\frac5{13}
\]
Como \(\alpha\) está en el tercer cuadrante, el seno es negativo:
\[
\boxed{
\operatorname{sen}\alpha=-\frac5{13}
}
\]
02
Relaciones entre razones
Identidades derivadas
A partir de la identidad fundamental y de la relación entre tangente,
seno y coseno se obtienen otras identidades muy útiles.
tg
Tangente
\[
\operatorname{tg}\alpha
=
\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}
\]
Esta relación solo puede utilizarse cuando
\(\cos\alpha\neq0\).
1+
Identidad con la tangente
\[
1+\operatorname{tg}^2\alpha
=
\frac1{\cos^2\alpha}
\]
Se obtiene dividiendo la identidad fundamental entre
\(\cos^2\alpha\).
cotg
Cotangente
\[
\operatorname{cotg}\alpha
=
\frac{\cos\alpha}{\operatorname{sen}\alpha}
\]
\[
\operatorname{cotg}\alpha
=
\frac1{\operatorname{tg}\alpha}
\]
Deducción paso a paso
Demuestra que
\(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\)
Partimos de la identidad fundamental:
\[
\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\]
Dividimos todos los términos entre \(\cos^2\alpha\):
\[
\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}
+
\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}
=
\frac1{\cos^2\alpha}
\]
Simplificamos cada cociente:
\[
\left(
\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}
\right)^2
+1
=
\frac1{\cos^2\alpha}
\]
Como \(\operatorname{tg}\alpha=
\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\):
\[
\boxed{
1+\operatorname{tg}^2\alpha
=
\frac1{\cos^2\alpha}
}
\]
Aplicación
Sabiendo que \(\operatorname{tg}\alpha=2\) y que \(\alpha\) es agudo,
calcula \(\cos\alpha\)
Aplicamos la identidad derivada:
\[
1+\operatorname{tg}^2\alpha
=
\frac1{\cos^2\alpha}
\]
Sustituimos \(\operatorname{tg}\alpha=2\):
\[
1+2^2
=
\frac1{\cos^2\alpha}
\]
\[
5=\frac1{\cos^2\alpha}
\]
\[
\cos^2\alpha=\frac15
\]
Como el ángulo es agudo, el coseno es positivo:
\[
\cos\alpha
=
\frac1{\sqrt5}
=
\boxed{\frac{\sqrt5}{5}}
\]
03
Ángulo de referencia
Reducción al primer cuadrante
Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en expresar sus razones
trigonométricas mediante las razones de un ángulo agudo, aplicando después
el signo correspondiente al cuadrante.
Procedimiento
Ángulo de referencia
Cómo reducir un ángulo
- Determina el cuadrante del ángulo.
- Calcula su ángulo de referencia.
- Identifica el signo de la razón trigonométrica.
- Utiliza el valor del ángulo notable correspondiente.
Ángulos de referencia
\[
\text{II cuadrante: }
180^\circ-\alpha
\]
\[
\text{III cuadrante: }
\alpha-180^\circ
\]
\[
\text{IV cuadrante: }
360^\circ-\alpha
\]
| Ángulo |
Seno |
Coseno |
Tangente |
| \(180^\circ-\alpha\) |
\(\operatorname{sen}\alpha\) |
\(-\cos\alpha\) |
\(-\operatorname{tg}\alpha\) |
| \(180^\circ+\alpha\) |
\(-\operatorname{sen}\alpha\) |
\(-\cos\alpha\) |
\(\operatorname{tg}\alpha\) |
| \(360^\circ-\alpha\) |
\(-\operatorname{sen}\alpha\) |
\(\cos\alpha\) |
\(-\operatorname{tg}\alpha\) |
| \(-\alpha\) |
\(-\operatorname{sen}\alpha\) |
\(\cos\alpha\) |
\(-\operatorname{tg}\alpha\) |
Segundo cuadrante
Calcula exactamente \(\cos150^\circ\)
Escribimos el ángulo mediante un ángulo de referencia:
\[
150^\circ=180^\circ-30^\circ
\]
En el segundo cuadrante el coseno es negativo:
\[
\cos150^\circ
=
\cos(180^\circ-30^\circ)
=
-\cos30^\circ
\]
\[
\boxed{
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}
}
\]
Tercer cuadrante
Calcula exactamente \(\operatorname{tg}225^\circ\)
Descomponemos el ángulo:
\[
225^\circ=180^\circ+45^\circ
\]
En el tercer cuadrante la tangente es positiva:
\[
\operatorname{tg}225^\circ
=
\operatorname{tg}(180^\circ+45^\circ)
=
\operatorname{tg}45^\circ
\]
\[
\boxed{\operatorname{tg}225^\circ=1}
\]
Ángulo mayor que una vuelta
Calcula exactamente \(\operatorname{sen}420^\circ\)
Restamos una vuelta completa:
\[
420^\circ-360^\circ=60^\circ
\]
Los ángulos \(420^\circ\) y \(60^\circ\) son coterminales:
\[
\operatorname{sen}420^\circ
=
\operatorname{sen}60^\circ
\]
\[
\boxed{
\operatorname{sen}420^\circ=\frac{\sqrt3}{2}
}
\]
04
Transformación de ángulos
Fórmulas del ángulo suma
El seno y el coseno de una suma no se obtienen sumando directamente
los senos o los cosenos. Es necesario aplicar las fórmulas correspondientes.
Seno de una suma
\[
\boxed{
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)
=
\operatorname{sen}\alpha\cos\beta
+
\cos\alpha\operatorname{sen}\beta
}
\]
Coseno de una suma
\[
\boxed{
\cos(\alpha+\beta)
=
\cos\alpha\cos\beta
-
\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
}
\]
!
En el seno, el signo central se mantiene. En el coseno, el signo
central cambia: la fórmula de la suma lleva una resta.
Valor exacto
Calcula \(\operatorname{sen}75^\circ\)
Escribimos \(75^\circ\) como suma de ángulos notables:
\[
75^\circ=45^\circ+30^\circ
\]
Aplicamos la fórmula del seno de una suma:
\[
\operatorname{sen}75^\circ
=
\operatorname{sen}(45^\circ+30^\circ)
\]
\[
=
\operatorname{sen}45^\circ\cos30^\circ
+
\cos45^\circ\operatorname{sen}30^\circ
\]
Sustituimos los valores exactos:
\[
=
\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}
+
\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12
\]
\[
=
\frac{\sqrt6}{4}
+
\frac{\sqrt2}{4}
\]
\[
\boxed{
\operatorname{sen}75^\circ
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
}
\]
05
Transformación de ángulos
Fórmulas del ángulo diferencia
Las fórmulas de la diferencia permiten calcular razones trigonométricas
de ángulos que pueden escribirse como resta de dos ángulos conocidos.
Seno de una diferencia
\[
\boxed{
\operatorname{sen}(\alpha-\beta)
=
\operatorname{sen}\alpha\cos\beta
-
\cos\alpha\operatorname{sen}\beta
}
\]
Coseno de una diferencia
\[
\boxed{
\cos(\alpha-\beta)
=
\cos\alpha\cos\beta
+
\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
}
\]
Valor exacto
Calcula \(\cos15^\circ\)
Expresamos \(15^\circ\) como diferencia:
\[
15^\circ=45^\circ-30^\circ
\]
Aplicamos la fórmula del coseno de una diferencia:
\[
\cos15^\circ
=
\cos(45^\circ-30^\circ)
\]
\[
=
\cos45^\circ\cos30^\circ
+
\operatorname{sen}45^\circ\operatorname{sen}30^\circ
\]
Sustituimos los valores exactos:
\[
=
\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}
+
\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12
\]
\[
=
\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}
\]
\[
\boxed{
\cos15^\circ
=
\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
}
\]
Demostración breve
Demuestra que \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)
Escribimos \(-\alpha\) como \(0-\alpha\):
\[
\cos(-\alpha)
=
\cos(0-\alpha)
\]
Aplicamos la fórmula del coseno de una diferencia:
\[
\cos(0-\alpha)
=
\cos0\cos\alpha
+
\operatorname{sen}0\operatorname{sen}\alpha
\]
Como \(\cos0=1\) y \(\operatorname{sen}0=0\):
\[
\cos(-\alpha)
=
1\cdot\cos\alpha
+
0\cdot\operatorname{sen}\alpha
\]
\[
\boxed{\cos(-\alpha)=\cos\alpha}
\]
06
Caso particular
Fórmulas del ángulo doble
Las fórmulas del ángulo doble se obtienen sustituyendo
\(\beta=\alpha\) en las fórmulas del ángulo suma.
sen 2α
Seno del ángulo doble
\[
\boxed{
\operatorname{sen}2\alpha
=
2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha
}
\]
cos 2α
Coseno del ángulo doble
\[
\boxed{
\cos2\alpha
=
\cos^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha
}
\]
tg 2α
Tangente del ángulo doble
\[
\boxed{
\operatorname{tg}2\alpha
=
\frac{2\operatorname{tg}\alpha}
{1-\operatorname{tg}^2\alpha}
}
\]
i
El coseno del ángulo doble admite varias formas equivalentes, obtenidas
utilizando \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Forma en función del coseno
\[
\boxed{
\cos2\alpha
=
2\cos^2\alpha-1
}
\]
Forma en función del seno
\[
\boxed{
\cos2\alpha
=
1-2\operatorname{sen}^2\alpha
}
\]
Deducción
Obtén la fórmula del seno del ángulo doble
Partimos de la fórmula del seno de una suma:
\[
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)
=
\operatorname{sen}\alpha\cos\beta
+
\cos\alpha\operatorname{sen}\beta
\]
Sustituimos \(\beta=\alpha\):
\[
\operatorname{sen}(\alpha+\alpha)
=
\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha
+
\cos\alpha\operatorname{sen}\alpha
\]
\[
\operatorname{sen}2\alpha
=
2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha
\]
\[
\boxed{
\operatorname{sen}2\alpha
=
2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha
}
\]
Aplicación
Sabiendo que
\(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac35\),
\(\cos\alpha=\dfrac45\)
y que \(\alpha\) es agudo, calcula
\(\operatorname{sen}2\alpha\) y \(\cos2\alpha\)
Calculamos el seno del ángulo doble:
\[
\operatorname{sen}2\alpha
=
2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha
\]
\[
\operatorname{sen}2\alpha
=
2\cdot\frac35\cdot\frac45
=
\boxed{\frac{24}{25}}
\]
Calculamos ahora el coseno del ángulo doble:
\[
\cos2\alpha
=
\cos^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha
\]
\[
\cos2\alpha
=
\left(\frac45\right)^2
-
\left(\frac35\right)^2
\]
\[
\cos2\alpha
=
\frac{16}{25}-\frac9{25}
=
\boxed{\frac7{25}}
\]
07
Caso particular
Fórmulas del ángulo mitad
Las fórmulas del ángulo mitad permiten calcular las razones
trigonométricas de \(\dfrac{\alpha}{2}\) a partir del coseno del
ángulo \(\alpha\). Se obtienen despejando en las fórmulas del
coseno del ángulo doble.
sen α/2
Seno del ángulo mitad
\[
\boxed{
\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}
=
\pm\sqrt{
\frac{1-\cos\alpha}{2}
}
}
\]
cos α/2
Coseno del ángulo mitad
\[
\boxed{
\cos\frac{\alpha}{2}
=
\pm\sqrt{
\frac{1+\cos\alpha}{2}
}
}
\]
tg α/2
Tangente del ángulo mitad
\[
\boxed{
\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}
=
\frac{\operatorname{sen}\alpha}
{1+\cos\alpha}
}
\]
\[
\boxed{
\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}
=
\frac{1-\cos\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
}
\]
!
El signo no depende del cuadrante de \(\alpha\), sino del
cuadrante de \(\dfrac{\alpha}{2}\).
Antes de elegir el signo de la raíz debes localizar el ángulo mitad.
Deducción paso a paso
Obtén la fórmula del seno del ángulo mitad
Partimos de una de las formas del coseno del ángulo doble:
\[
\cos2\beta
=
1-2\operatorname{sen}^2\beta
\]
Despejamos \(\operatorname{sen}^2\beta\):
\[
2\operatorname{sen}^2\beta
=
1-\cos2\beta
\]
\[
\operatorname{sen}^2\beta
=
\frac{1-\cos2\beta}{2}
\]
Tomamos \(\beta=\dfrac{\alpha}{2}\), de modo que
\(2\beta=\alpha\):
\[
\operatorname{sen}^2\frac{\alpha}{2}
=
\frac{1-\cos\alpha}{2}
\]
Extraemos la raíz cuadrada:
\[
\boxed{
\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}
=
\pm\sqrt{
\frac{1-\cos\alpha}{2}
}
}
\]
Valor exacto
Calcula exactamente \(\operatorname{sen}15^\circ\)
Observamos que:
\[
15^\circ=\frac{30^\circ}{2}
\]
Aplicamos la fórmula del seno del ángulo mitad:
\[
\operatorname{sen}15^\circ
=
\pm\sqrt{
\frac{1-\cos30^\circ}{2}
}
\]
Como \(15^\circ\) está en el primer cuadrante, el seno es positivo:
\[
\operatorname{sen}15^\circ
=
\sqrt{
\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}
}
\]
Simplificamos el interior de la raíz:
\[
\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}
=
\frac{\frac{2-\sqrt3}{2}}{2}
=
\frac{2-\sqrt3}{4}
\]
\[
\operatorname{sen}15^\circ
=
\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}
=
\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}
\]
Esta expresión es equivalente al valor obtenido mediante la fórmula
de la diferencia:
\[
\boxed{
\operatorname{sen}15^\circ
=
\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
}
\]
Elección del signo
Sabiendo que \(\cos\alpha=-\dfrac35\) y que
\(180^\circ<\alpha<270^\circ\), calcula
\(\cos\dfrac{\alpha}{2}\)
Como \(\alpha\) pertenece al tercer cuadrante:
\[
90^\circ
<
\frac{\alpha}{2}
<
135^\circ
\]
Por tanto, \(\dfrac{\alpha}{2}\) está en el segundo cuadrante
y su coseno es negativo.
\[
\cos\frac{\alpha}{2}
=
-\sqrt{
\frac{1+\cos\alpha}{2}
}
\]
Sustituimos el valor conocido:
\[
\cos\frac{\alpha}{2}
=
-\sqrt{
\frac{1-\frac35}{2}
}
\]
\[
\cos\frac{\alpha}{2}
=
-\sqrt{
\frac{\frac25}{2}
}
=
-\sqrt{\frac15}
\]
\[
\boxed{
\cos\frac{\alpha}{2}
=
-\frac{\sqrt5}{5}
}
\]
08
Transformación de expresiones
Sumas en productos y productos en sumas
Estas fórmulas permiten transformar una suma o diferencia de razones
trigonométricas en un producto y, en sentido contrario, convertir
productos en sumas o diferencias.
i
Antes de aplicar una fórmula, calcula por separado
\(\dfrac{A+B}{2}\) y \(\dfrac{A-B}{2}\). Así se reducen
considerablemente los errores de signo.
A
Primer sentido
Transformaciones de sumas en productos
Suma de senos
\[
\boxed{
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B
=
2\operatorname{sen}\frac{A+B}{2}
\cos\frac{A-B}{2}
}
\]
Diferencia de senos
\[
\boxed{
\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B
=
2\cos\frac{A+B}{2}
\operatorname{sen}\frac{A-B}{2}
}
\]
Suma de cosenos
\[
\boxed{
\cos A+\cos B
=
2\cos\frac{A+B}{2}
\cos\frac{A-B}{2}
}
\]
Diferencia de cosenos
\[
\boxed{
\cos A-\cos B
=
-2\operatorname{sen}\frac{A+B}{2}
\operatorname{sen}\frac{A-B}{2}
}
\]
Suma de senos
Transforma en producto
\(\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ\)
Identificamos:
\[
A=70^\circ,
\qquad
B=10^\circ
\]
Calculamos la semisuma:
\[
\frac{A+B}{2}
=
\frac{70^\circ+10^\circ}{2}
=
40^\circ
\]
Calculamos la semidiferencia:
\[
\frac{A-B}{2}
=
\frac{70^\circ-10^\circ}{2}
=
30^\circ
\]
Aplicamos la fórmula:
\[
\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ
=
2\operatorname{sen}40^\circ\cos30^\circ
\]
Como \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\):
\[
=
2\operatorname{sen}40^\circ
\cdot\frac{\sqrt3}{2}
\]
\[
\boxed{
\operatorname{sen}70^\circ+\operatorname{sen}10^\circ
=
\sqrt3\operatorname{sen}40^\circ
}
\]
Diferencia de cosenos
Transforma en producto
\(\cos80^\circ-\cos20^\circ\)
Calculamos la semisuma y la semidiferencia:
\[
\frac{80^\circ+20^\circ}{2}
=
50^\circ
\]
\[
\frac{80^\circ-20^\circ}{2}
=
30^\circ
\]
Aplicamos la fórmula de la diferencia de cosenos:
\[
\cos80^\circ-\cos20^\circ
=
-2\operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}30^\circ
\]
Como \(\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac12\):
\[
=
-2\operatorname{sen}50^\circ\cdot\frac12
\]
\[
\boxed{
\cos80^\circ-\cos20^\circ
=
-\operatorname{sen}50^\circ
}
\]
B
Sentido inverso
Transformaciones de productos en sumas
Producto de senos
\[
\boxed{
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B
=
\frac{
\cos(A-B)-\cos(A+B)
}{2}
}
\]
Producto de cosenos
\[
\boxed{
\cos A\cos B
=
\frac{
\cos(A-B)+\cos(A+B)
}{2}
}
\]
Seno por coseno
\[
\boxed{
\operatorname{sen}A\cos B
=
\frac{
\operatorname{sen}(A+B)
+
\operatorname{sen}(A-B)
}{2}
}
\]
Coseno por seno
\[
\boxed{
\cos A\operatorname{sen}B
=
\frac{
\operatorname{sen}(A+B)
-
\operatorname{sen}(A-B)
}{2}
}
\]
!
Las dos últimas fórmulas son parecidas, pero el orden de los ángulos
es importante. Si intercambias \(A\) y \(B\), cambia el signo de
\(\operatorname{sen}(A-B)\).
Producto de cosenos
Transforma en suma
\(\cos70^\circ\cos10^\circ\)
Aplicamos la fórmula del producto de cosenos:
\[
\cos70^\circ\cos10^\circ
=
\frac{
\cos(70^\circ-10^\circ)
+
\cos(70^\circ+10^\circ)
}{2}
\]
Simplificamos los ángulos:
\[
=
\frac{
\cos60^\circ+\cos80^\circ
}{2}
\]
Como \(\cos60^\circ=\dfrac12\):
\[
\boxed{
\cos70^\circ\cos10^\circ
=
\frac{
\frac12+\cos80^\circ
}{2}
}
\]
Producto de senos
Transforma en suma
\(\operatorname{sen}75^\circ\operatorname{sen}15^\circ\)
Aplicamos la fórmula:
\[
\operatorname{sen}75^\circ\operatorname{sen}15^\circ
=
\frac{
\cos(75^\circ-15^\circ)
-
\cos(75^\circ+15^\circ)
}{2}
\]
\[
=
\frac{
\cos60^\circ-\cos90^\circ
}{2}
\]
Sustituimos los valores exactos:
\[
=
\frac{
\frac12-0
}{2}
\]
\[
\boxed{
\operatorname{sen}75^\circ\operatorname{sen}15^\circ
=
\frac14
}
\]
09
Estrategia algebraica
Simplificación y demostración de identidades
Para demostrar una identidad no debemos comprobarla con valores
particulares. Hay que transformar algebraicamente uno de los miembros
hasta obtener el otro.
Procedimiento
Demostrar identidades
Estrategia recomendada
- Elige el miembro más complicado.
- Expresa la tangente mediante seno y coseno cuando sea útil.
- Busca la identidad fundamental o una fórmula de transformación.
- Saca factor común o reduce las fracciones a común denominador.
- Transforma solo un miembro hasta obtener el otro.
¿Qué fórmula conviene utilizar?
La estructura de la expresión suele indicar el camino:
\[
\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha
\longrightarrow 1
\]
\[
\operatorname{tg}\alpha
\longrightarrow
\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}
\]
\[
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B
\longrightarrow
\text{producto}
\]
\[
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B
\longrightarrow
\text{suma}
\]
Demostración
Demuestra que
\[
\frac{1-\cos^2\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
=
\operatorname{sen}\alpha
\]
Trabajamos únicamente con el miembro izquierdo:
\[
\frac{1-\cos^2\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
\]
Por la identidad fundamental:
\[
1-\cos^2\alpha
=
\operatorname{sen}^2\alpha
\]
Sustituimos:
\[
\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
\]
Simplificamos:
\[
\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
=
\operatorname{sen}\alpha
\]
\[
\boxed{
\frac{1-\cos^2\alpha}
{\operatorname{sen}\alpha}
=
\operatorname{sen}\alpha
}
\]
Simplificación
Simplifica
\[
\frac{
\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha
}{
\operatorname{sen}\alpha
}
\]
Sustituimos la tangente por seno entre coseno:
\[
\frac{
\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}
\cdot\cos\alpha
}{
\operatorname{sen}\alpha
}
\]
Simplificamos el coseno:
\[
\frac{
\operatorname{sen}\alpha
}{
\operatorname{sen}\alpha
}
\]
\[
\boxed{1}
\]
Transformación conjunta
Simplifica
\[
\frac{
\operatorname{sen}3\alpha+\operatorname{sen}\alpha
}{
2\cos\alpha
}
\]
En el numerador aparece una suma de senos. Aplicamos:
\[
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B
=
2\operatorname{sen}\frac{A+B}{2}
\cos\frac{A-B}{2}
\]
Tomamos \(A=3\alpha\) y \(B=\alpha\):
\[
\operatorname{sen}3\alpha+\operatorname{sen}\alpha
=
2\operatorname{sen}
\frac{3\alpha+\alpha}{2}
\cos
\frac{3\alpha-\alpha}{2}
\]
\[
=
2\operatorname{sen}2\alpha\cos\alpha
\]
Sustituimos en la expresión inicial:
\[
\frac{
2\operatorname{sen}2\alpha\cos\alpha
}{
2\cos\alpha
}
\]
Simplificamos los factores comunes:
\[
\boxed{
\operatorname{sen}2\alpha
}
\]
Qué debes recordar
Primero reconoce la estructura y después elige la fórmula
No todas las expresiones requieren la misma transformación. Identifica
si aparecen cuadrados, una suma de ángulos, un ángulo doble, un ángulo
mitad, una suma de razones o un producto.
Identidad fundamental
\(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Suma y diferencia
En el seno se mantiene el signo; en el coseno se cambia.
Ángulo doble y mitad
El ángulo mitad requiere estudiar el signo de la raíz.
Suma y producto
Utiliza siempre la semisuma y la semidiferencia.
Errores frecuentes
Elegir mal el signo del ángulo mitad
El signo depende del cuadrante de
\(\dfrac{\alpha}{2}\), no del cuadrante de \(\alpha\).
Olvidar dividir entre dos
En suma en producto deben calcularse
\(\dfrac{A+B}{2}\) y \(\dfrac{A-B}{2}\).
Perder el signo negativo
La diferencia de cosenos comienza por
\(-2\operatorname{sen}\dfrac{A+B}{2}
\operatorname{sen}\dfrac{A-B}{2}\).
Confundir suma con producto
Comprueba si la expresión inicial contiene una suma de razones
o una multiplicación.
Intercambiar los ángulos
En las fórmulas mixtas, cambiar \(A-B\) por \(B-A\)
puede modificar el signo.
Usar decimales
Mantén fracciones y radicales exactos hasta completar el ejercicio.
