Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 05

Teoremas del seno y del coseno

Aprende a resolver triángulos oblicuángulos, elegir el teorema adecuado, calcular áreas y analizar los distintos casos que pueden aparecer según los datos disponibles.

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Punto de partida

Resolver un triángulo significa conocer todos sus lados y ángulos

En el tema anterior resolvimos triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Sin embargo, no todos los triángulos contienen un ángulo recto.

Para resolver triángulos oblicuángulos utilizaremos dos resultados fundamentales: el teorema del seno y el teorema del coseno.

180° La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo
01
Conceptos previos

Triángulos oblicuángulos

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. Puede ser acutángulo, si sus tres ángulos son agudos, u obtusángulo, si contiene un ángulo obtuso.

A B C a b c

Cada lado se nombra con la letra minúscula correspondiente al ángulo opuesto: el lado \(a\) está frente a \(A\), el lado \(b\) frente a \(B\) y el lado \(c\) frente a \(C\).

A ↔ a

Primer par opuesto

El ángulo \(A\) y el lado \(a\) forman una pareja de elementos opuestos.

B ↔ b

Segundo par opuesto

El ángulo \(B\) se encuentra frente al lado \(b\).

C ↔ c

Tercer par opuesto

El ángulo \(C\) se encuentra frente al lado \(c\).

i La correcta identificación de las parejas lado-ángulo opuesto es imprescindible para aplicar el teorema del seno sin intercambiar datos.
02
Relación entre lados y ángulos opuestos

Teorema del seno

En cualquier triángulo, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. El teorema del seno resulta especialmente útil cuando conocemos al menos una pareja completa formada por un lado y su ángulo opuesto.

\[ \boxed{ \frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C} } \]
Uso principal Dos ángulos y un lado

Casos ALA y AAL

Si conocemos dos ángulos, calculamos el tercero mediante la suma de los ángulos del triángulo y después aplicamos el teorema del seno.

Uso posible Dos lados y ángulo opuesto

Caso LLA

Puede producir una solución, dos soluciones o ninguna. Es el llamado caso ambiguo del teorema del seno.

Ejemplo resuelto 1 · Dos ángulos y un lado

En un triángulo se conocen \(A=42^\circ\), \(B=68^\circ\) y \(a=9\ \text{cm}\). Calcula el ángulo \(C\) y los lados \(b\) y \(c\).

1. Calculamos el tercer ángulo

\[ C = 180^\circ-A-B \]
\[ C = 180^\circ-42^\circ-68^\circ = 70^\circ \]

2. Calculamos el lado \(b\)

\[ \frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} \]
\[ \frac{9}{\operatorname{sen}42^\circ} = \frac{b}{\operatorname{sen}68^\circ} \]
\[ b = \frac{9\operatorname{sen}68^\circ} {\operatorname{sen}42^\circ} \approx 12{,}47\ \text{cm} \]

3. Calculamos el lado \(c\)

\[ \frac{9}{\operatorname{sen}42^\circ} = \frac{c}{\operatorname{sen}70^\circ} \]
\[ c = \frac{9\operatorname{sen}70^\circ} {\operatorname{sen}42^\circ} \approx 12{,}64\ \text{cm} \]
\[ \boxed{ C=70^\circ, \qquad b\approx12{,}47\ \text{cm}, \qquad c\approx12{,}64\ \text{cm} } \]
i Conviene utilizar siempre una pareja conocida completa. En este ejemplo, la pareja conocida es \(A=42^\circ\) y \(a=9\).
03
Generalización de Pitágoras

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona los tres lados de un triángulo con uno de sus ángulos. Se utiliza principalmente cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o cuando conocemos los tres lados.

a²

Para calcular \(a\)

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \]
b²

Para calcular \(b\)

\[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \]
c²

Para calcular \(c\)

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]
i Si \(C=90^\circ\), entonces \(\cos90^\circ=0\) y la fórmula se convierte en \(c^2=a^2+b^2\). Por eso el teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras.
Ejemplo resuelto 2 · Dos lados y el ángulo comprendido

En un triángulo se conocen \(a=8\ \text{cm}\), \(b=11\ \text{cm}\) y \(C=47^\circ\). Calcula el lado \(c\).

Conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Aplicamos el teorema del coseno:

\[ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C \]
\[ c^2 = 8^2+11^2 - 2\cdot8\cdot11\cos47^\circ \]
\[ c^2 \approx 64+121-176\cdot0{,}6820 \]
\[ c^2\approx64{,}97 \]
\[ c\approx\sqrt{64{,}97}\approx8{,}06 \]
\[ \boxed{c\approx8{,}06\ \text{cm}} \]
Ejemplo resuelto 3 · Tres lados

Los lados de un triángulo miden \(a=7\ \text{cm}\), \(b=9\ \text{cm}\) y \(c=12\ \text{cm}\). Calcula el ángulo \(C\).

Partimos de:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]

Despejamos el coseno:

\[ 2ab\cos C = a^2+b^2-c^2 \]
\[ \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \]

Sustituimos:

\[ \cos C = \frac{7^2+9^2-12^2} {2\cdot7\cdot9} \]
\[ \cos C = \frac{49+81-144}{126} = -\frac{1}{9} \]
\[ C = \arccos\left(-\frac19\right) \approx 96{,}38^\circ \]
\[ \boxed{C\approx96{,}38^\circ} \]

El ángulo es obtuso, lo cual es coherente porque se encuentra frente al lado mayor, \(c=12\).

04
Decisión inicial

¿Qué teorema debo utilizar?

La elección no depende de qué fórmula recordemos mejor, sino de los datos disponibles. Antes de operar debemos clasificar la información conocida.

Datos conocidos Caso Herramienta inicial
Dos ángulos y un lado ALA o AAL Teorema del seno
Dos lados y el ángulo comprendido LAL Teorema del coseno
Tres lados LLL Teorema del coseno
Dos lados y un ángulo no comprendido LLA Teorema del seno, con análisis de casos
Pregunta 1 Pareja opuesta

¿Conozco un lado y su ángulo opuesto?

Si la respuesta es sí, el teorema del seno suele ser la opción más directa.

Pregunta 2 Tres lados o ángulo comprendido

¿Conozco tres lados o dos lados con el ángulo entre ellos?

En estos casos debemos comenzar mediante el teorema del coseno.

Regla de decisión

Una pareja opuesta conduce al seno

Cuando no existe una pareja completa de lado y ángulo opuesto, suele ser necesario utilizar primero el teorema del coseno.

\[ \text{Pareja lado-ángulo opuesto} \;\longrightarrow\; \text{teorema del seno} \] \[ \text{LAL o LLL} \;\longrightarrow\; \text{teorema del coseno} \]
05
Clasificación de los datos

Casos de resolución de triángulos

ALA

Ángulo, lado, ángulo

Calculamos el tercer ángulo y utilizamos el teorema del seno para hallar los lados desconocidos.

AAL

Ángulo, ángulo, lado

El procedimiento es equivalente al caso ALA. El triángulo queda determinado de forma única.

LAL

Lado, ángulo, lado

El ángulo conocido debe estar comprendido entre los dos lados. Comenzamos con el teorema del coseno.

LLL

Tres lados

Calculamos primero un ángulo mediante el teorema del coseno.

LLA

Dos lados y ángulo opuesto

Puede existir un triángulo, dos triángulos o ninguno.

Σ

Suma de ángulos

Cuando conocemos dos ángulos, el tercero se obtiene mediante \(A+B+C=180^\circ\).

Ejemplo resuelto 4 · Caso LAL completo

Resuelve un triángulo en el que \(a=10\ \text{cm}\), \(b=13\ \text{cm}\) y \(C=58^\circ\).

1. Calculamos el lado \(c\)

\[ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C \]
\[ c^2 = 10^2+13^2 - 2\cdot10\cdot13\cos58^\circ \]
\[ c^2\approx131{,}22 \]
\[ c\approx11{,}46\ \text{cm} \]

2. Calculamos el ángulo \(A\)

Ahora ya disponemos de una pareja opuesta conocida: \(C=58^\circ\) y \(c\approx11{,}46\).

\[ \frac{\operatorname{sen}A}{a} = \frac{\operatorname{sen}C}{c} \]
\[ \operatorname{sen}A = \frac{10\operatorname{sen}58^\circ}{11{,}46} \]
\[ A\approx47{,}65^\circ \]

3. Calculamos el ángulo \(B\)

\[ B = 180^\circ-A-C \]
\[ B \approx 180^\circ-47{,}65^\circ-58^\circ = 74{,}35^\circ \]
\[ \boxed{ c\approx11{,}46\ \text{cm}, \quad A\approx47{,}65^\circ, \quad B\approx74{,}35^\circ } \]
06
Dos lados y un ángulo no comprendido

El caso ambiguo del teorema del seno

Al calcular un ángulo mediante el seno debemos recordar que dos ángulos suplementarios tienen el mismo seno:

\[ \operatorname{sen}\theta = \operatorname{sen}(180^\circ-\theta) \]

Por esta razón, en el caso LLA pueden aparecer dos triángulos distintos, uno solo o ninguno.

Caso 1 Una solución

Solo uno de los ángulos es válido

La segunda posibilidad hace que la suma de los ángulos alcance o supere \(180^\circ\).

Caso 2 Dos soluciones

Los dos ángulos son posibles

Tanto \(\theta\) como \(180^\circ-\theta\) permiten completar un triángulo.

Caso 3 Sin solución

El seno obtenido no es posible

Si aparece un valor mayor que \(1\), no existe ningún triángulo con esos datos.

Ejemplo resuelto 5 · Dos triángulos posibles

En un triángulo se conocen \(A=35^\circ\), \(a=8\ \text{cm}\) y \(b=11\ \text{cm}\). Analiza las posibles soluciones.

Aplicamos el teorema del seno:

\[ \frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} \]
\[ \operatorname{sen}B = \frac{b\operatorname{sen}A}{a} \]
\[ \operatorname{sen}B = \frac{11\operatorname{sen}35^\circ}{8} \approx 0{,}7887 \]

La calculadora proporciona una primera solución:

\[ B_1 = \operatorname{arcsen}(0{,}7887) \approx 52{,}06^\circ \]

Existe una segunda posibilidad:

\[ B_2 = 180^\circ-B_1 \approx 127{,}94^\circ \]

Primer triángulo

\[ C_1 = 180^\circ-35^\circ-52{,}06^\circ = 92{,}94^\circ \]

Segundo triángulo

\[ C_2 = 180^\circ-35^\circ-127{,}94^\circ = 17{,}06^\circ \]

Los dos valores son positivos, por lo que existen dos triángulos.

Calculamos los lados \(c_1\) y \(c_2\)

\[ c_1 = \frac{8\operatorname{sen}92{,}94^\circ} {\operatorname{sen}35^\circ} \approx 13{,}93\ \text{cm} \]
\[ c_2 = \frac{8\operatorname{sen}17{,}06^\circ} {\operatorname{sen}35^\circ} \approx 4{,}09\ \text{cm} \]
\[ \boxed{ \begin{array}{l} B_1\approx52{,}06^\circ,\; C_1\approx92{,}94^\circ,\; c_1\approx13{,}93\ \text{cm} \\[2mm] B_2\approx127{,}94^\circ,\; C_2\approx17{,}06^\circ,\; c_2\approx4{,}09\ \text{cm} \end{array} } \]
! Cuando calcules un ángulo mediante \(\operatorname{arcsen}\), comprueba siempre la posibilidad suplementaria \(180^\circ-\theta\). No debes hacerlo al calcular mediante \(\arccos\) en un triángulo, porque el coseno distingue entre ángulos agudos y obtusos.
07
Aplicaciones métricas

Cálculo del área de un triángulo

Si conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, podemos calcular directamente el área sin necesidad de conocer la altura.

A

Con los lados \(b\) y \(c\)

\[ \mathcal A = \frac12bc\operatorname{sen}A \]
B

Con los lados \(a\) y \(c\)

\[ \mathcal A = \frac12ac\operatorname{sen}B \]
C

Con los lados \(a\) y \(b\)

\[ \mathcal A = \frac12ab\operatorname{sen}C \]
Ejemplo resuelto 6 · Área con dos lados y un ángulo

Calcula el área de un triángulo cuyos lados \(a=12\ \text{cm}\) y \(b=15\ \text{cm}\) forman un ángulo \(C=38^\circ\).

\[ \mathcal A = \frac12ab\operatorname{sen}C \]
\[ \mathcal A = \frac12 \cdot12\cdot15 \cdot\operatorname{sen}38^\circ \]
\[ \mathcal A = 90\operatorname{sen}38^\circ \approx 55{,}41 \]
\[ \boxed{ \mathcal A\approx55{,}41\ \text{cm}^2 } \]
Ejemplo resuelto 7 · Fórmula de Herón

Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden \(7\ \text{cm}\), \(9\ \text{cm}\) y \(12\ \text{cm}\).

Cuando conocemos los tres lados también podemos utilizar la fórmula de Herón. Primero calculamos el semiperímetro:

\[ s = \frac{a+b+c}{2} \]
\[ s = \frac{7+9+12}{2} = 14 \]

Aplicamos la fórmula:

\[ \mathcal A = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \]
\[ \mathcal A = \sqrt{ 14(14-7)(14-9)(14-12) } \]
\[ \mathcal A = \sqrt{14\cdot7\cdot5\cdot2} = \sqrt{980} \]
\[ \boxed{ \mathcal A \approx31{,}30\ \text{cm}^2 } \]
08
Método de resolución

Estrategia general

Una resolución ordenada debe comenzar identificando los datos y no escribiendo fórmulas al azar. La siguiente secuencia funciona en la mayoría de los ejercicios.

01

Dibuja y etiqueta

Representa el triángulo y coloca cada lado frente a su ángulo correspondiente.

02

Clasifica los datos

Decide si el caso es ALA, AAL, LAL, LLL o LLA.

03

Elige el teorema

Usa el seno con una pareja opuesta conocida y el coseno en los casos LAL o LLL.

04

Calcula un elemento

Busca primero el lado o ángulo que permita continuar la resolución con mayor facilidad.

05

Completa el triángulo

Utiliza de nuevo los teoremas o la suma de los ángulos interiores.

06

Comprueba

Verifica que el lado mayor esté frente al ángulo mayor y que los ángulos sumen \(180^\circ\).

Cómo estudiar este tema

Aprende a reconocer los datos antes de memorizar fórmulas

La dificultad principal no está en sustituir números, sino en decidir correctamente qué teorema permite iniciar la resolución.

01

ALA y AAL

Calcula el tercer ángulo y aplica el teorema del seno.

02

LAL

Comienza calculando el tercer lado mediante el coseno.

03

LLL

Comienza calculando un ángulo mediante el coseno.

04

LLA

Utiliza el seno y analiza la posible solución suplementaria.

05

Área

Con dos lados y el ángulo comprendido, usa \(\frac12ab\operatorname{sen}C\).

06

Comprobación

El lado mayor siempre debe quedar frente al ángulo mayor.

\[ \text{Datos} \;\longrightarrow\; \text{caso} \;\longrightarrow\; \text{teorema} \;\longrightarrow\; \text{resolución} \;\longrightarrow\; \text{comprobación} \]
!
Antes de terminar

Errores frecuentes

1

Emparejar mal lados y ángulos

En el teorema del seno, cada lado debe aparecer con el seno de su ángulo opuesto.

2

Usar el seno en un caso LAL

Si no conocemos ninguna pareja opuesta completa, debemos comenzar con el teorema del coseno.

3

Elegir mal el ángulo del coseno

El ángulo utilizado debe estar comprendido entre los dos lados que aparecen en el producto.

4

Olvidar la raíz cuadrada

El teorema del coseno calcula primero el cuadrado de un lado. Después debemos extraer la raíz positiva.

5

No revisar el caso ambiguo

En el caso LLA puede existir una segunda solución suplementaria.

6

Redondear demasiado pronto

Conserva varios decimales durante el proceso y redondea únicamente el resultado final.

✓
Síntesis

Resumen del tema

Situación Teorema Idea clave
Dos ángulos y un lado Teorema del seno Calcula antes el tercer ángulo
Dos lados y ángulo comprendido Teorema del coseno Calcula primero el tercer lado
Tres lados Teorema del coseno Calcula primero un ángulo
Dos lados y ángulo no comprendido Teorema del seno Analiza cero, una o dos soluciones
Dos lados y ángulo comprendido para el área Fórmula trigonométrica \(\mathcal A=\frac12ab\operatorname{sen}C\)
Tres lados para el área Fórmula de Herón \(\mathcal A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
Qué debes recordar

Ideas esenciales

01

Lados y ángulos se emparejan

El lado \(a\) está frente a \(A\), el lado \(b\) frente a \(B\) y el lado \(c\) frente a \(C\).

02

El seno necesita una pareja

Resulta especialmente útil si conocemos un lado y su ángulo opuesto.

03

El coseno resuelve LAL y LLL

Es la herramienta inicial cuando no tenemos una pareja opuesta.

04

El caso LLA puede ser ambiguo

Puede haber dos triángulos, uno o ninguno.

05

El área puede calcularse sin altura

Basta conocer dos lados y el ángulo comprendido.

06

Comprueba siempre la coherencia

El lado mayor debe quedar frente al ángulo mayor.

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