3 – Planos con parámetros
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano \(\pi_1 \equiv 2x-3y+z=a\) y el plano \(\pi_2\), determinado por el punto \(P(0,2,4)\) y los vectores directores \(\vec v_1=(0,2,6)\) y \(\vec v_2=(1,0,b)\), se pide:
- Calcular los valores de \(a\) y \(b\) para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos y distintos. (0,75 puntos)
- Para \(a=1\) y \(b=0\), determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (0,75 puntos)
- Para \(a=4\) y \(b=-2\), determinar los puntos que están a igual distancia de \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos dos planos en el espacio:
- El plano \(\pi_1\) viene dado en forma general: \(\pi_1 \equiv 2x-3y+z=a\).
- El plano \(\pi_2\) viene definido mediante un punto y dos vectores directores.
El dato clave del primer plano es su vector normal:
\[
\vec n_1=(2,-3,1)
\]
Para el segundo plano no tenemos directamente su ecuación general. Como conocemos dos vectores directores, calcularemos su vector normal mediante el producto vectorial:
\[
\vec n_2=\vec v_1 \times \vec v_2
\]
En el apartado c), al pedir puntos que están a igual distancia de dos planos paralelos, aparecerá el plano situado justo a mitad de camino entre ambos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría en el espacio.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Vector normal de un plano.
- Producto vectorial de dos vectores directores.
- Posición relativa de dos planos.
- Recta intersección de dos planos.
- Distancia de un punto a un plano.
- Lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos planos paralelos.
La idea central es pasar de la información vectorial del plano \(\pi_2\) a su ecuación general para poder compararlo con \(\pi_1\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos un vector normal de \(\pi_2\) mediante:
\[
\vec n_2=\vec v_1 \times \vec v_2
\]
Después comparamos \(\vec n_1\) y \(\vec n_2\):
- Si los vectores normales son proporcionales, los planos son paralelos o coincidentes.
- Si no son proporcionales, los planos se cortan en una recta.
Para el apartado b), con \(a=1\) y \(b=0\), escribiremos las ecuaciones de los dos planos y resolveremos el sistema.
Para el apartado c), con \(a=4\) y \(b=-2\), los planos son paralelos. Los puntos equidistantes cumplen que sus distancias a ambos planos son iguales.
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores de \(a\) y \(b\) para que los planos sean paralelos y distintos
El vector normal de \(\pi_1\) es:
\[
\vec n_1=(2,-3,1)
\]
Calculamos un vector normal de \(\pi_2\):
\[
\vec n_2=\vec v_1 \times \vec v_2
=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
0 & 2 & 6\\
1 & 0 & b
\end{vmatrix}
\]
\[
\vec n_2=(2b,6,-2)
\]
Para que los planos sean paralelos, sus vectores normales deben ser proporcionales:
\[
(2b,6,-2)=\lambda(2,-3,1)
\]
De la segunda coordenada:
\[
6=-3\lambda \Rightarrow \lambda=-2
\]
De la tercera coordenada:
\[
-2=\lambda
\]
Coincide con \(\lambda=-2\). Usamos ahora la primera coordenada:
\[
2b=2\lambda=2(-2)=-4
\]
\[
b=-2
\]
Con \(b=-2\), el plano \(\pi_2\) tiene el mismo vector normal que \(\pi_1\). Como pasa por \(P(0,2,4)\), sustituimos en la expresión \(2x-3y+z\):
\[
2\cdot0-3\cdot2+4=-6+4=-2
\]
Por tanto:
\[
\pi_2 \equiv 2x-3y+z=-2
\]
Para que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) sean paralelos y distintos:
\[
a\neq -2
\]
Respuesta:
\[
\boxed{b=-2,\qquad a\neq -2}
\]
b) Recta intersección para \(a=1\) y \(b=0\)
Para \(a=1\), el primer plano es:
\[
\pi_1 \equiv 2x-3y+z=1
\]
Para \(b=0\), el vector normal de \(\pi_2\) es:
\[
\vec n_2=(2b,6,-2)=(0,6,-2)
\]
Podemos simplificarlo:
\[
\vec n_2=(0,3,-1)
\]
Como \(\pi_2\) pasa por \(P(0,2,4)\), su ecuación es:
\[
0(x-0)+3(y-2)-1(z-4)=0
\]
\[
3y-6-z+4=0
\]
\[
3y-z-2=0
\]
Por tanto, resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
2x-3y+z=1\\
3y-z-2=0
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
z=3y-2
\]
Sustituimos en la primera:
\[
2x-3y+(3y-2)=1
\]
\[
2x-2=1
\]
\[
2x=3
\]
\[
x=\frac{3}{2}
\]
Tomamos \(y=t\). Entonces:
\[
z=3t-2
\]
Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección son:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=\frac{3}{2}\\
y=t\\
z=3t-2
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
}
\]
c) Puntos que están a igual distancia de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) para \(a=4\) y \(b=-2\)
Para \(a=4\), el primer plano es:
\[
\pi_1 \equiv 2x-3y+z=4
\]
Para \(b=-2\), ya hemos visto que:
\[
\pi_2 \equiv 2x-3y+z=-2
\]
Ambos planos son paralelos. Buscamos los puntos \((x,y,z)\) que estén a igual distancia de los dos planos.
La distancia de un punto \((x,y,z)\) al plano \(2x-3y+z-4=0\) es:
\[
d_1=\frac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}
=\frac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{14}}
\]
La distancia al plano \(2x-3y+z+2=0\) es:
\[
d_2=\frac{|2x-3y+z+2|}{\sqrt{14}}
\]
Igualamos ambas distancias:
\[
\frac{|2x-3y+z-4|}{\sqrt{14}}
=
\frac{|2x-3y+z+2|}{\sqrt{14}}
\]
Como los denominadores son iguales:
\[
|2x-3y+z-4|=|2x-3y+z+2|
\]
Llamamos:
\[
u=2x-3y+z
\]
Entonces:
\[
|u-4|=|u+2|
\]
Elevamos al cuadrado:
\[
(u-4)^2=(u+2)^2
\]
\[
u^2-8u+16=u^2+4u+4
\]
\[
-12u=-12
\]
\[
u=1
\]
Volviendo a las variables:
\[
2x-3y+z=1
\]
Respuesta: los puntos que están a igual distancia de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) son todos los puntos del plano
\[
\boxed{2x-3y+z=1}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un plano dado por dos vectores directores necesita un vector normal, que se obtiene mediante el producto vectorial.
- Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales.
- Si dos planos no paralelos se cortan, su intersección es una recta.
- Los puntos equidistantes de dos planos paralelos forman otro plano paralelo situado entre ambos.
- Un error frecuente es olvidar comprobar que los planos sean distintos, no solo paralelos.