1 – Inversión dinero negocio
Murcia · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Darío y Cayetana organizan un pequeño negocio e invierten dinero en tres conceptos:
- \(x\) miles de euros en publicidad.
- \(y\) miles de euros en materiales.
- \(z\) miles de euros en logística.
El reparto depende de un parámetro positivo \(k\). Se sabe que la suma total invertida es \(12\) mil euros.
Darío propone que la inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales sea igual a la inversión en logística más \(k\). Cayetana quiere que el doble de la inversión en publicidad menos la inversión en materiales más la inversión en logística sea igual a \(4\) mil euros.
- Plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que refleje los datos del problema. (0,75 puntos)
- Discutir el correspondiente sistema. En caso de existir solución única, encontrarla y expresarla en función de \(k\) si es necesario. (1,25 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Las incógnitas representan cantidades de dinero en miles de euros:
- \(x\): publicidad.
- \(y\): materiales.
- \(z\): logística.
El dato “la suma de todo lo invertido es 12 mil euros” se traduce como:
\[
x+y+z=12
\]
El parámetro \(k\) es positivo y aparece en una de las condiciones del reparto.
El objetivo es traducir correctamente el enunciado a ecuaciones y después estudiar si el sistema tiene solución única.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas de ecuaciones lineales.
- Sistemas con parámetro.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Discusión de sistemas.
Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.
🟢 Estrategia de resolución
Primero traducimos cada frase del enunciado a una ecuación.
Después escribimos la matriz de coeficientes y calculamos su determinante.
Si el determinante no depende de \(k\) o nunca se anula, habrá solución única para todo valor positivo de \(k\).
Finalmente resolveremos el sistema y expresaremos \(x\), \(y\) y \(z\) en función de \(k\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Planteamiento del sistema
La suma total invertida es \(12\) mil euros:
\[
x+y+z=12
\]
La inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales es igual a la inversión en logística más \(k\):
\[
x+2y=z+k
\]
Es decir:
\[
x+2y-z=k
\]
La condición de Cayetana es:
\[
2x-y+z=4
\]
Por tanto, el sistema es:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x+y+z=12\\
x+2y-z=k\\
2x-y+z=4
\end{cases}
}
\]
b) Discusión y resolución del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&2&-1\\
2&-1&1
\end{pmatrix}
\]
Calculamos su determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
1&2&-1\\
2&-1&1
\end{vmatrix}
\]
\[
|A|=-7
\]
Como:
\[
|A|\neq0
\]
el sistema es compatible determinado para todo valor de \(k\).
Resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
x+y+z=12\\
x+2y-z=k\\
2x-y+z=4
\end{cases}
\]
La solución es:
\[
x=\frac{2k}{7}
\]
\[
y=4+\frac{k}{7}
\]
\[
z=8-\frac{3k}{7}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
x=\frac{2k}{7},\qquad
y=4+\frac{k}{7},\qquad
z=8-\frac{3k}{7}
}
\]
El sistema tiene solución única para todo \(k>0\). Si además se exige que todas las inversiones sean positivas, entonces debe cumplirse:
\[
z>0 \Rightarrow 8-\frac{3k}{7}>0 \Rightarrow k<\frac{56}{3}
\]
por lo que, en contexto económico, tendría sentido exigir:
\[
\boxed{0 < k < \frac{56}{3}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En problemas de sistemas, el primer paso es traducir cada frase a una ecuación.
- Si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula, el sistema tiene solución única.
- La solución puede depender de un parámetro aunque la discusión sea sencilla.
- En problemas contextualizados, conviene revisar si las soluciones tienen sentido económico.
- Aunque \(k>0\), si se exige inversión positiva en todos los apartados, aparece una restricción adicional.