1 – Sistema homogéneo con parámetro
Castilla y León · 2024 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\):
\[
\begin{cases}
x+\frac{y}{2}+z=0\\
2ax+y=0\\
2x+y+az=0
\end{cases}
\]
Resolverlo para \(a=1\).
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas:
\[
x,\ y,\ z
\]
y un parámetro:
\[
a\in\mathbb{R}
\]
Al ser homogéneo, siempre tiene al menos la solución trivial:
\[
x=0,\qquad y=0,\qquad z=0
\]
La clave es decidir cuándo tiene solo esa solución y cuándo tiene infinitas soluciones.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas homogéneos.
- Sistemas con parámetro.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Rango de una matriz.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
En un sistema homogéneo, si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, solo existe la solución trivial. Si el determinante se anula, aparecen infinitas soluciones.
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos la matriz de coeficientes:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&\frac12&1\\
2a&1&0\\
2&1&a
\end{pmatrix}
\]
Calcularemos:
\[
|A|
\]
Si:
\[
|A|\neq0
\]
el sistema será compatible determinado y tendrá solo la solución trivial.
Los valores que anulen el determinante se estudiarán aparte.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&\frac12&1\\
2a&1&0\\
2&1&a
\end{pmatrix}
\]
Calculamos su determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
1&\frac12&1\\
2a&1&0\\
2&1&a
\end{vmatrix}
\]
Desarrollando:
\[
|A|=-(a-1)(a-2)
\]
Por tanto:
\[
|A|=0
\Longleftrightarrow
a=1 \quad \text{o} \quad a=2
\]
Si:
\[
a\neq1,2
\]
entonces:
\[
|A|\neq0
\]
y el sistema es compatible determinado.
Como es homogéneo, la única solución es:
\[
\boxed{x=0,\qquad y=0,\qquad z=0}
\]
Caso \(a=1\)
Sustituimos \(a=1\):
\[
\begin{cases}
x+\frac{y}{2}+z=0\\
2x+y=0\\
2x+y+z=0
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
2x+y=0
\]
\[
y=-2x
\]
Sustituimos en la tercera:
\[
2x+y+z=0
\]
\[
2x-2x+z=0
\]
\[
z=0
\]
Tomamos:
\[
y=t
\qquad t\in\mathbb{R}
\]
Entonces:
\[
x=-\frac{t}{2}
\]
y:
\[
z=0
\]
Por tanto, para \(a=1\), el sistema tiene infinitas soluciones:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=-\frac{t}{2}\\
y=t\\
z=0
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
}
\]
Caso \(a=2\)
Sustituimos \(a=2\):
\[
\begin{cases}
x+\frac{y}{2}+z=0\\
4x+y=0\\
2x+y+2z=0
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
4x+y=0
\]
\[
y=-4x
\]
Sustituimos en la primera:
\[
x+\frac{-4x}{2}+z=0
\]
\[
x-2x+z=0
\]
\[
z=x
\]
Tomamos:
\[
z=t
\qquad t\in\mathbb{R}
\]
Entonces:
\[
x=t
\]
y:
\[
y=-4t
\]
Por tanto, para \(a=2\), el sistema tiene infinitas soluciones:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=t\\
y=-4t\\
z=t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
}
\]
Conclusión:
- Si \(a\neq1,2\), el sistema es compatible determinado y solo tiene la solución trivial.
- Si \(a=1\), el sistema es compatible indeterminado.
- Si \(a=2\), el sistema es compatible indeterminado.
b) Resolución para \(a=1\)
Del caso anterior, para \(a=1\), la solución es:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=-\frac{t}{2}\\
y=t\\
z=0
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial.
- Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, la solución trivial es la única.
- Los valores que anulan el determinante deben estudiarse por separado.
- En un sistema homogéneo no puede aparecer sistema incompatible.
- Cuando queda una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones.