2 – Jardín triangular con forma techada
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos \(42\) m y \(56\) m.
Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa.
Alicatar la parte cubierta cuesta 30 euros/m\(^2\) y la parte no techada 50 euros/m\(^2\), pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua.
Calcular las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
🟠 Comprensión del enunciado
El jardín es un triángulo rectángulo de catetos:
\[
42\text{ m}
\qquad \text{y} \qquad
56\text{ m}
\]
Dentro se coloca un rectángulo apoyado en el vértice del ángulo recto.
Llamamos:
- \(x\): lado del rectángulo paralelo al cateto de \(42\) m.
- \(y\): lado del rectángulo paralelo al cateto de \(56\) m.
El vértice opuesto del rectángulo está sobre la hipotenusa, por lo que \(x\) e \(y\) no son independientes.
Como la parte techada cuesta menos, minimizar el coste equivale a maximizar el área techada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Optimización de funciones.
- Modelización mediante una función de una variable.
- Ecuación de una recta.
- Área de un rectángulo.
- Máximos y mínimos mediante derivadas.
La clave es expresar el coste en función de una sola variable y estudiar dónde alcanza su mínimo.
🟢 Estrategia de resolución
Colocamos el triángulo rectángulo sobre los ejes coordenados:
- Un cateto mide \(42\) m sobre el eje \(x\).
- El otro cateto mide \(56\) m sobre el eje \(y\).
La hipotenusa pasa por los puntos:
\[
(42,0)
\qquad \text{y} \qquad
(0,56)
\]
Por tanto, su ecuación es:
\[
\frac{x}{42}+\frac{y}{56}=1
\]
De ahí despejaremos \(y\) en función de \(x\), calcularemos el área del rectángulo:
\[
A(x)=x\cdot y
\]
Como la parte techada es más barata, el coste será mínimo cuando el área techada sea máxima.
🟣 Resolución paso a paso
Planteamiento geométrico
La hipotenusa del triángulo pasa por:
\[
(42,0)
\qquad \text{y} \qquad
(0,56)
\]
Su ecuación en forma segmentaria es:
\[
\frac{x}{42}+\frac{y}{56}=1
\]
Despejamos \(y\):
\[
\frac{y}{56}=1-\frac{x}{42}
\]
\[
y=56-\frac{56}{42}x
\]
\[
y=56-\frac{4}{3}x
\]
El área de la parte techada rectangular es:
\[
A(x)=x\cdot y
\]
Sustituimos:
\[
A(x)=x\left(56-\frac{4}{3}x\right)
\]
\[
A(x)=56x-\frac{4}{3}x^2
\]
Relación con el coste
El área total del triángulo es:
\[
A_T=\frac{42\cdot56}{2}=1176
\]
La parte techada tiene área \(A(x)\), y la parte no techada tiene área:
\[
1176-A(x)
\]
El coste total es:
\[
C(x)=30A(x)+50(1176-A(x))
\]
Desarrollamos:
\[
C(x)=30A(x)+58800-50A(x)
\]
\[
C(x)=58800-20A(x)
\]
Por tanto, minimizar \(C(x)\) equivale a maximizar \(A(x)\).
Maximización del área techada
Maximizamos:
\[
A(x)=56x-\frac{4}{3}x^2
\]
Derivamos:
\[
A'(x)=56-\frac{8}{3}x
\]
Igualamos a cero:
\[
56-\frac{8}{3}x=0
\]
\[
56=\frac{8}{3}x
\]
\[
168=8x
\]
\[
x=21
\]
Calculamos la otra dimensión:
\[
y=56-\frac{4}{3}\cdot21
\]
\[
y=56-28
\]
\[
y=28
\]
Como \(A(x)\) es una parábola cóncava hacia abajo, este punto corresponde a un máximo del área techada.
Respuesta: las dimensiones de la parte techada que hacen mínimo el coste son
\[
\boxed{21\text{ m}\times 28\text{ m}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En problemas de optimización, primero hay que elegir bien las variables.
- La hipotenusa permite relacionar las dos dimensiones del rectángulo.
- Si una parte cuesta menos, minimizar el coste puede equivaler a maximizar esa superficie.
- Una función cuadrática cóncava hacia abajo alcanza su máximo en el vértice.
- Antes de derivar conviene interpretar qué representa la función que se está optimizando.