4B – Cinturones verdes en judo
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un \(55\%\) de mujeres y el resto hombres.
Se sabe que el \(15\%\) del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde.
- ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? (1 punto)
- Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. (0,75 puntos)
- Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. (0,75 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos los sucesos:
- \(M\): el remitente es mujer.
- \(H\): el remitente es hombre.
- \(V\): el remitente es cinturón verde.
Del enunciado sabemos:
\[
P(M)=0,55
\]
\[
P(H)=0,45
\]
\[
P(V)=0,15
\]
Además, una quinta parte de las mujeres es cinturón verde:
\[
P(V/M)=\frac{1}{5}=0,20
\]
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Probabilidad condicionada.
- Probabilidad de la intersección de sucesos.
- Teorema de Bayes.
- Porcentajes y frecuencias relativas.
Usaremos la relación:
\[
P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V/M)
\]
Después calcularemos la parte de cinturones verdes que corresponde a hombres.
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos la probabilidad de ser mujer y cinturón verde:
\[
P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V/M)
\]
Como conocemos el porcentaje total de cinturones verdes, podemos obtener:
\[
P(H\cap V)=P(V)-P(M\cap V)
\]
Para el apartado a), nos piden el porcentaje de hombres que son cinturón verde:
\[
P(V/H)=\frac{P(H\cap V)}{P(H)}
\]
Para el apartado b), nos piden invertir la condición:
\[
P(M/V)=\frac{P(M\cap V)}{P(V)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Porcentaje de hombres que son cinturón verde
Calculamos primero la probabilidad de que una persona sea mujer y cinturón verde:
\[
P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V/M)
\]
Sustituimos:
\[
P(M\cap V)=0,55\cdot0,20
\]
\[
P(M\cap V)=0,11
\]
Es decir, el \(11\%\) del grupo son mujeres con cinturón verde.
Como el \(15\%\) del grupo es cinturón verde:
\[
P(V)=0,15
\]
entonces:
\[
P(H\cap V)=P(V)-P(M\cap V)
\]
\[
P(H\cap V)=0,15-0,11
\]
\[
P(H\cap V)=0,04
\]
Por tanto, el \(4\%\) del grupo son hombres con cinturón verde.
Pero el apartado pregunta qué porcentaje de hombres son cinturón verde, es decir:
\[
P(V/H)=\frac{P(H\cap V)}{P(H)}
\]
Como:
\[
P(H)=0,45
\]
tenemos:
\[
P(V/H)=\frac{0,04}{0,45}
\]
\[
P(V/H)=\frac{4}{45}
\]
\[
P(V/H)\approx0,0889
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{4}{45}\approx8,89\%}
\]
b) Probabilidad de que el mensaje lo haya enviado una mujer sabiendo que lo envió un cinturón verde
Nos piden:
\[
P(M/V)
\]
Aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada:
\[
P(M/V)=\frac{P(M\cap V)}{P(V)}
\]
Sustituimos:
\[
P(M/V)=\frac{0,11}{0,15}
\]
\[
P(M/V)=\frac{11}{15}
\]
\[
P(M/V)\approx0,7333
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{11}{15}\approx73,33\%}
\]
c) Probabilidad de que sea hombre y cinturón verde
Ahora no tenemos información adicional sobre el remitente.
Por tanto, nos piden directamente:
\[
P(H\cap V)
\]
Este valor ya lo hemos calculado en el apartado a):
\[
P(H\cap V)=0,04
\]
Respuesta:
\[
\boxed{0,04=4\%}
\]
Qué debes aprender de este problema
- No es lo mismo \(P(H\cap V)\) que \(P(V/H)\).
- La probabilidad \(P(H\cap V)\) mide el porcentaje del grupo total que son hombres y cinturón verde.
- La probabilidad \(P(V/H)\) mide el porcentaje de hombres que son cinturón verde.
- Cuando el enunciado dice “enviado por un cinturón verde”, aparece una probabilidad condicionada.
- Conviene organizar los datos con una tabla de doble entrada: sexo y color de cinturón.