2B – Función exponencial e integral trigonométrica
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función
\[
f(x)=\frac{1}{1+e^x}
\]
se pide determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Además, justificar la existencia o no de extremos relativos. (1,5 puntos)
También se pide calcular la integral definida:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El problema tiene dos partes independientes:
- Un estudio básico de la función \(f(x)=\frac{1}{1+e^x}\).
- El cálculo de una integral definida trigonométrica.
En la primera parte debemos estudiar:
- El dominio.
- La monotonía.
- Las asíntotas.
- La existencia o no de extremos relativos.
La función contiene una exponencial \(e^x\), que siempre es positiva para cualquier valor real de \(x\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Dominio de una función con exponenciales.
- Derivada de una función racional con \(e^x\).
- Estudio del signo de la derivada.
- Asíntotas horizontales mediante límites.
- Cálculo de una integral definida.
La primera parte se resuelve mediante derivadas y límites. La segunda parte se puede resolver usando una identidad trigonométrica o haciendo un cambio sencillo.
🟢 Estrategia de resolución
Para estudiar la función:
- Primero analizamos si el denominador puede anularse.
- Después derivamos la función para estudiar su crecimiento o decrecimiento.
- Finalmente calculamos límites en \(+\infty\) y en \(-\infty\) para obtener las asíntotas horizontales.
Para la integral:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx
\]
podemos usar que:
\[
\int \sin(x)\cos(x)\,dx=\frac{\sin^2(x)}{2}
\]
Después solo habrá que aplicar la regla de Barrow entre \(0\) y \(\frac{\pi}{2}\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Dominio, monotonía, asíntotas y extremos relativos
La función es:
\[
f(x)=\frac{1}{1+e^x}
\]
Como \(e^x>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), se cumple:
\[
1+e^x>0
\]
Por tanto, el denominador nunca se anula.
Dominio:
\[
\boxed{D(f)=\mathbb{R}}
\]
Estudiamos ahora la monotonía. Derivamos:
\[
f(x)=(1+e^x)^{-1}
\]
\[
f'(x)=-(1+e^x)^{-2}\cdot e^x
\]
\[
f'(x)=\frac{-e^x}{(1+e^x)^2}
\]
Como \(e^x>0\) y \((1+e^x)^2>0\), entonces:
\[
f'(x)<0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}
\]
Por tanto, la función es estrictamente decreciente en todo su dominio.
Monotonía:
\[
\boxed{\text{La función es decreciente en } \mathbb{R}}
\]
Como la derivada no se anula en ningún punto, la función no tiene extremos relativos.
Extremos relativos:
\[
\boxed{\text{No tiene máximos ni mínimos relativos}}
\]
Calculamos ahora las asíntotas.
Cuando \(x\to +\infty\), tenemos que \(e^x\to +\infty\), por tanto:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+e^x}=0
\]
Luego hay una asíntota horizontal:
\[
\boxed{y=0}
\]
Cuando \(x\to -\infty\), tenemos que \(e^x\to 0\), por tanto:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+e^x}=1
\]
Luego hay otra asíntota horizontal:
\[
\boxed{y=1}
\]
Como el dominio es todo \(\mathbb{R}\), no hay asíntotas verticales.
b) Cálculo de la integral definida
Queremos calcular:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx
\]
Sabemos que:
\[
\int \sin(x)\cos(x)\,dx=\frac{\sin^2(x)}{2}
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx
=
\left[\frac{\sin^2(x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
\]
Sustituimos los extremos:
\[
=
\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}
-
\frac{\sin^2(0)}{2}
\]
Como:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1
\qquad \text{y} \qquad
\sin(0)=0
\]
obtenemos:
\[
\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La función \(e^x\) siempre es positiva, por eso \(1+e^x\) nunca se anula.
- Para estudiar la monotonía se analiza el signo de la derivada.
- Si \(f'(x)<0\) en todo el dominio, la función es estrictamente decreciente.
- Las asíntotas horizontales se obtienen calculando límites en \(+\infty\) y \(-\infty\).
- La integral \(\int \sin(x)\cos(x)\,dx\) puede resolverse directamente como \(\frac{\sin^2(x)}{2}\).