2A – Integral impropia y raíz única
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se pide:
- Calcular la integral
\[
\int_0^1 \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx
\]
(1,25 puntos) - Probar que la función
\[
f(x)=2-e^x
\]
posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga. (1,25 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El problema tiene dos apartados independientes:
- El cálculo de una integral definida con potencias.
- La demostración de que una función tiene una única raíz real.
En el apartado a), la presencia de \(\sqrt{x}\) en el denominador puede complicar visualmente la integral. La clave consiste en escribir:
\[
\sqrt{x}=x^{1/2}
\]
y transformar el cociente en una suma de potencias.
En el apartado b), el enunciado pide dos cosas distintas:
- Probar que existe una raíz real.
- Probar que esa raíz es única.
Para demostrar la existencia utilizaremos el teorema de Bolzano. Para demostrar la unicidad estudiaremos la monotonía de la función.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Integración de funciones potenciales.
- Integral definida y regla de Barrow.
- Continuidad de una función.
- Teorema de Bolzano.
- Estudio de la monotonía mediante la derivada.
- Existencia y unicidad de raíces.
El teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una raíz cuando una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo.
Sin embargo, Bolzano no garantiza que la raíz sea única. Para demostrar la unicidad necesitaremos estudiar el signo de la derivada.
🟢 Estrategia de resolución
Para calcular la integral, comenzamos transformando el integrando:
\[
\frac{x^3-5}{\sqrt{x}}
=
\frac{x^3}{x^{1/2}}-\frac{5}{x^{1/2}}
\]
Aplicando las propiedades de las potencias:
\[
\frac{x^3-5}{\sqrt{x}}
=
x^{5/2}-5x^{-1/2}
\]
Así podremos integrar término a término utilizando:
\[
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
\qquad (n\neq -1)
\]
Para el apartado b), seguiremos dos pasos:
- Encontrar dos valores \(a\) y \(b\) para los que \(f(a)\) y \(f(b)\) tengan signos opuestos. Así aplicaremos Bolzano.
- Calcular \(f'(x)\) y estudiar su signo para demostrar que la función es estrictamente monótona y no puede cortar al eje \(X\) más de una vez.
De esta forma quedarán demostradas por separado la existencia y la unicidad de la raíz.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de la integral definida
Queremos calcular:
\[
\int_0^1 \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx
\]
Escribimos la raíz como una potencia:
\[
\sqrt{x}=x^{1/2}
\]
Separamos los términos del numerador:
\[
\frac{x^3-5}{\sqrt{x}}
=
\frac{x^3}{x^{1/2}}-\frac{5}{x^{1/2}}
\]
Simplificando las potencias:
\[
\frac{x^3-5}{\sqrt{x}}
=
x^{5/2}-5x^{-1/2}
\]
Por tanto:
\[
\int_0^1 \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx
=
\int_0^1 \left(x^{5/2}-5x^{-1/2}\right)\,dx
\]
Integramos término a término:
\[
\int x^{5/2}\,dx
=
\frac{x^{7/2}}{7/2}
=
\frac{2}{7}x^{7/2}
\]
y
\[
\int -5x^{-1/2}\,dx
=
-5\frac{x^{1/2}}{1/2}
=
-10x^{1/2}
\]
Una primitiva es:
\[
F(x)=\frac{2}{7}x^{7/2}-10\sqrt{x}
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\int_0^1 \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx
=
\left[
\frac{2}{7}x^{7/2}-10\sqrt{x}
\right]_0^1
\]
Evaluamos en los extremos:
\[
=
\left(\frac{2}{7}-10\right)-0
\]
\[
=
\frac{2}{7}-\frac{70}{7}
=
-\frac{68}{7}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
\int_0^1 \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx
=
-\frac{68}{7}
}
\]
b) Existencia y unicidad de una raíz real
Consideramos la función:
\[
f(x)=2-e^x
\]
Primero vamos a demostrar que existe al menos una raíz real.
La función \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), ya que la función exponencial es continua.
Buscamos un intervalo en cuyos extremos la función cambie de signo. Por ejemplo:
\[
f(0)=2-e^0=2-1=1>0
\]
y
\[
f(1)=2-e<0
\]
Por tanto:
\[
f(0)\cdot f(1)<0
\]
Como \(f\) es continua en \([0,1]\), el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un punto:
\[
c\in(0,1)
\]
tal que:
\[
f(c)=0
\]
Por tanto, la función tiene al menos una raíz en el intervalo:
\[
\boxed{(0,1)}
\]
Ahora debemos demostrar que esa raíz es única.
Derivamos la función:
\[
f'(x)=-e^x
\]
Como:
\[
e^x>0
\qquad \text{para todo }x\in\mathbb{R}
\]
se cumple:
\[
f'(x)<0
\qquad \text{para todo }x\in\mathbb{R}
\]
Por tanto, \(f\) es estrictamente decreciente en todo \(\mathbb{R}\).
Una función estrictamente decreciente puede cortar al eje \(X\) como máximo una vez.
Como el teorema de Bolzano ya ha demostrado que existe una raíz y la monotonía demuestra que no puede haber más de una, concluimos que la raíz es única.
Respuesta: la función \(f(x)=2-e^x\) posee una única raíz real y esta se encuentra en
\[
\boxed{(0,1)}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cuando aparece una raíz en una integral, suele ser útil escribirla como una potencia de exponente fraccionario.
- El teorema de Bolzano demuestra la existencia de al menos una raíz, pero no su unicidad.
- Para aplicar Bolzano hay que comprobar continuidad y cambio de signo en los extremos del intervalo.
- La monotonía estricta permite demostrar que una función no puede tener más de una raíz.
- Para probar que existe una única raíz conviene separar el razonamiento en dos partes: existencia y unicidad.