3B – Paralelogramo en el espacio
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Los puntos
\[
A(1,1,1)
\qquad \text{y} \qquad
B(0,2,0)
\]
son vértices consecutivos del paralelogramo \(ABCD\). El centro del paralelogramo es
\[
E(0,0,1).
\]
Se pide:
- Calcular las coordenadas de los otros vértices. (1 punto)
- Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. (1 punto)
- Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices \(ABEO\), siendo \(O(0,0,0)\) el origen de coordenadas. (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos un paralelogramo \(ABCD\), donde \(A\) y \(B\) son vértices consecutivos.
El dato clave es que
\(E(0,0,1)\) es el centro del paralelogramo.
En un paralelogramo, el centro es el punto medio de sus dos diagonales:
\[
E=\text{punto medio de }AC
\]
y también:
\[
E=\text{punto medio de }BD
\]
Por eso podremos calcular \(C\) usando \(A\) y \(E\), y calcular \(D\) usando \(B\) y \(E\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría en el espacio.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Punto medio de un segmento en el espacio.
- Propiedades de los paralelogramos.
- Plano determinado por tres puntos.
- Producto vectorial para obtener un vector normal.
- Volumen de un tetraedro mediante determinantes.
La idea principal es usar la geometría del paralelogramo para hallar primero todos los vértices y después trabajar con vectores.
🟢 Estrategia de resolución
Para el apartado a), usaremos que \(E\) es punto medio de las diagonales:
\[
E=\frac{A+C}{2}
\qquad\Longrightarrow\qquad
C=2E-A
\]
y:
\[
E=\frac{B+D}{2}
\qquad\Longrightarrow\qquad
D=2E-B
\]
Para hallar el plano del paralelogramo, tomaremos dos vectores contenidos en él, por ejemplo:
\[
\overrightarrow{AB}
\qquad \text{y} \qquad
\overrightarrow{AD}
\]
Su producto vectorial nos dará un vector normal del plano.
Para el volumen del tetraedro \(ABEO\), como uno de sus vértices es el origen, podemos usar directamente el determinante formado por los vectores \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) y \(\overrightarrow{OE}\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Coordenadas de los otros vértices
Sabemos que \(E(0,0,1)\) es el centro del paralelogramo, por tanto es el punto medio de la diagonal \(AC\).
Así:
\[
C=2E-A
\]
Sustituimos:
\[
C=2(0,0,1)-(1,1,1)
\]
\[
C=(0,0,2)-(1,1,1)
\]
\[
C=(-1,-1,1)
\]
También \(E\) es el punto medio de la diagonal \(BD\), por tanto:
\[
D=2E-B
\]
Sustituimos:
\[
D=2(0,0,1)-(0,2,0)
\]
\[
D=(0,0,2)-(0,2,0)
\]
\[
D=(0,-2,2)
\]
Respuesta:
\[
\boxed{C(-1,-1,1),\qquad D(0,-2,2)}
\]
b) Ecuación general del plano del paralelogramo
Tomamos dos vectores contenidos en el plano:
\[
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,2,0)-(1,1,1)
\]
\[
\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)
\]
y:
\[
\overrightarrow{AD}=D-A=(0,-2,2)-(1,1,1)
\]
\[
\overrightarrow{AD}=(-1,-3,1)
\]
Calculamos un vector normal mediante el producto vectorial:
\[
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
\]
\[
\vec n=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
-1 & 1 & -1\\
-1 & -3 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
\vec n=(-2,2,4)
\]
Podemos simplificar:
\[
\vec n=(-1,1,2)
\]
Usamos el punto \(A(1,1,1)\) y el vector normal \((-1,1,2)\):
\[
-1(x-1)+1(y-1)+2(z-1)=0
\]
Desarrollamos:
\[
-x+1+y-1+2z-2=0
\]
\[
-x+y+2z-2=0
\]
Multiplicando por \(-1\), obtenemos:
\[
x-y-2z+2=0
\]
Respuesta:
\[
\boxed{x-y-2z+2=0}
\]
c) Volumen del tetraedro \(ABEO\)
El tetraedro está formado por los puntos:
\[
A(1,1,1),\qquad B(0,2,0),\qquad E(0,0,1),\qquad O(0,0,0)
\]
Como uno de los vértices es el origen, el volumen se calcula mediante:
\[
V=\frac{1}{6}\left|
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\right|
\]
Calculamos el determinante:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=2
\]
Por tanto:
\[
V=\frac{1}{6}|2|
\]
\[
V=\frac{1}{3}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{V=\frac{1}{3}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio.
- Si conocemos el centro \(E\) y un vértice \(A\), el vértice opuesto se calcula con \(C=2E-A\).
- Un plano se puede hallar con un punto y dos vectores directores.
- El producto vectorial de dos vectores del plano da un vector normal al plano.
- El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen se calcula con \(\frac{1}{6}\) del valor absoluto del determinante formado por los otros tres vectores.