4A – Agua almacenada en el Pantano de Riaño
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2025, de 365 días, sigue una distribución normal con media
\[
\mu=337,2\ \text{hm}^3
\]
y desviación típica
\[
\sigma=40,5\ \text{hm}^3.
\]
- Elegido al azar un día del año 2025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a \(299,94\ \text{hm}^3\). (1 punto)
- Calcular el número probable de días que en 2025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre \(299,94\ \text{hm}^3\) y \(350,16\ \text{hm}^3\). (1 punto)
- Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si es correcto afirmar que el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre \(310\ \text{hm}^3\) y \(330\ \text{hm}^3\) debería estar entre 170 y 180. (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La variable aleatoria es:
\[
X=\text{cantidad de agua almacenada en un día de 2025}
\]
y sigue una distribución normal:
\[
X\sim N(337,2;\,40,5)
\]
Los datos clave son:
- Media: \(\mu=337,2\)
- Desviación típica: \(\sigma=40,5\)
- Número de días del año: 365 días
Para poder usar la tabla de la normal, transformaremos los valores de \(X\) en valores de la normal típica \(Z\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Distribución normal.
- Tipificación de una variable normal.
- Uso de la tabla de la normal típica.
- Cálculo de probabilidades en intervalos.
- Estimación de frecuencias esperadas a partir de probabilidades.
La tipificación se realiza mediante:
\[
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
\]
Una vez calculada la probabilidad de un intervalo, el número probable de días se obtiene multiplicando esa probabilidad por \(365\).
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), calcularemos:
\[
P(X>299,94)
\]
Para ello tipificamos:
\[
Z=\frac{299,94-337,2}{40,5}
\]
En el apartado b), calcularemos primero:
\[
P(299,94 < X < 350,16)
\]
y después multiplicaremos el resultado por \(365\).
En el apartado c), no hace falta calcular una nueva probabilidad. Basta observar que:
\[
[310,330]\subset[299,94,350,16]
\]
Por tanto, el número de días entre \(310\) y \(330\) no puede ser mayor que el número de días calculado en el apartado b).
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad de que el agua almacenada sea superior a \(299,94\)
Queremos calcular:
\[
P(X>299,94)
\]
Tipificamos:
\[
Z=\frac{299,94-337,2}{40,5}
\]
\[
Z=\frac{-37,26}{40,5}=-0,92
\]
Por tanto:
\[
P(X > 299,94)=P(Z > -0,92)
\]
Por simetría de la normal:
\[
P(Z > -0,92)=P(Z < 0,92)
\]
Consultando la tabla de la normal:
\[
P(Z < 0,92)=0,8212
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(X > 299,94)=0,8212}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{82,12\%}
\]
b) Número probable de días entre \(299,94\) y \(350,16\)
Queremos calcular:
\[
P(299,94 < X < 350,16)
\]
Ya sabemos que:
\[
299,94 \longrightarrow Z=-0,92
\]
Tipificamos ahora \(350,16\):
\[
Z=\frac{350,16-337,2}{40,5}
\]
\[
Z=\frac{12,96}{40,5}=0,32
\]
Por tanto:
\[
P(299,94 < X < 350,16)=P(-0,92 < Z < 0,32)
\]
Usamos la tabla:
\[
P(Z < 0,32)=0,6255
\]
y:
\[
P(Z < -0,92)=1-P(Z < 0,92)=1-0,8212=0,1788
\]
Entonces:
\[
P(-0,92 < Z < 0,32)=0,6255-0,1788
\]
\[
P(-0,92 < Z < 0,32)=0,4467
\]
Multiplicamos por los 365 días del año:
\[
365\cdot0,4467=163,0455
\]
Por tanto, el número probable de días es aproximadamente:
\[
\boxed{163\text{ días}}
\]
c) Razonamiento sobre el intervalo entre \(310\) y \(330\)
El intervalo que aparece en este apartado es:
\[
[310,330]
\]
Este intervalo está contenido dentro del intervalo del apartado b):
\[
[310,330]\subset[299,94,350,16]
\]
En el apartado b) hemos obtenido que el número probable de días con una cantidad de agua entre \(299,94\) y \(350,16\) es aproximadamente:
\[
163\text{ días}
\]
Como \([310,330]\) es un intervalo más pequeño, el número de días correspondiente no puede ser mayor que \(163\).
Por tanto, no puede estar entre 170 y 180.
Respuesta: la afirmación no es correcta, porque el intervalo \([310,330]\) está contenido en \([299,94,350,16]\), y este último ya tiene aproximadamente \(163\) días.
\[
\boxed{\text{No es correcto afirmar que debería estar entre 170 y 180 días.}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Para trabajar con una normal \(N(\mu,\sigma)\), se tipifica usando \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).
- La tabla de la normal típica permite calcular probabilidades acumuladas.
- Para calcular probabilidades entre dos valores se restan probabilidades acumuladas.
- El número esperado de días se obtiene multiplicando la probabilidad por el número total de días.
- Si un intervalo está contenido dentro de otro, su probabilidad no puede ser mayor.