1 – Estudio de grabación
Baleares · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un estudio de grabación se han colocado tres micrófonos colgados del techo con cables de distintas longitudes. El origen del sistema de referencia se encuentra en el suelo de la sala y el techo está situado a una altura de \(7\) m.
Los micrófonos se colocan en las siguientes posiciones:
- Micrófono \(M_1\): \(x=2,\ y=3\), cable de longitud \(1\) m.
- Micrófono \(M_2\): \(x=4,\ y=4\), cable de longitud \(2\) m.
- Micrófono \(M_3\): \(x=5,\ y=1\), cable de longitud \(3\) m.
Durante el ensayo, un músico se sitúa en el punto \(P(4,3,0)\).
- Determinar las coordenadas de los tres micrófonos y calcular la ecuación del plano que los contiene. (1 punto)
- Sea \(\pi\) el plano que contiene los micrófonos \(M_1\), \(M_2\) y \(M_3\). Se desea colocar un cuarto micrófono \(M_4\) de manera que sea la proyección ortogonal del punto \(P\) sobre el plano \(\pi\). Determinar las coordenadas de este cuarto micrófono. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El techo está a altura \(7\) m. Como los micrófonos cuelgan hacia abajo, su coordenada \(z\) se obtiene restando la longitud del cable a \(7\).
Por tanto:
\[
M_1=(2,3,6),\qquad M_2=(4,4,5),\qquad M_3=(5,1,4)
\]
Después, con tres puntos no alineados, podemos calcular el plano que los contiene usando dos vectores del plano y su producto vectorial.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría en el espacio.
- Coordenadas de puntos en el espacio.
- Plano determinado por tres puntos.
- Producto vectorial.
- Vector normal de un plano.
- Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.
La proyección ortogonal de \(P\) sobre \(\pi\) se obtiene desplazando \(P\) en la dirección del vector normal del plano.
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos las coordenadas reales de los micrófonos.
Después tomamos dos vectores del plano:
\[
\overrightarrow{M_1M_2}
\qquad \text{y} \qquad
\overrightarrow{M_1M_3}
\]
Su producto vectorial nos dará un vector normal \(\vec n\).
Para proyectar \(P\) sobre el plano \(\pi\), usaremos la fórmula:
\[
P_{\pi}=P-\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Coordenadas de los micrófonos y plano que los contiene
Como el techo está a \(7\) m de altura:
\[
M_1=(2,3,7-1)=(2,3,6)
\]
\[
M_2=(4,4,7-2)=(4,4,5)
\]
\[
M_3=(5,1,7-3)=(5,1,4)
\]
Calculamos dos vectores del plano:
\[
\overrightarrow{M_1M_2}=(4,4,5)-(2,3,6)=(2,1,-1)
\]
\[
\overrightarrow{M_1M_3}=(5,1,4)-(2,3,6)=(3,-2,-2)
\]
Calculamos un vector normal:
\[
\vec n=\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3}
\]
\[
\vec n=
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
2 & 1 & -1\\
3 & -2 & -2
\end{vmatrix}
=(-4,1,-7)
\]
Podemos tomar como vector normal:
\[
\vec n=(4,-1,7)
\]
Usamos el punto \(M_1(2,3,6)\):
\[
4(x-2)-1(y-3)+7(z-6)=0
\]
Desarrollamos:
\[
4x-8-y+3+7z-42=0
\]
\[
4x-y+7z-47=0
\]
Respuesta:
\[
\boxed{M_1=(2,3,6),\quad M_2=(4,4,5),\quad M_3=(5,1,4)}
\]
\[
\boxed{\pi\equiv 4x-y+7z-47=0}
\]
b) Proyección ortogonal de \(P(4,3,0)\) sobre \(\pi\)
El plano es:
\[
\pi\equiv 4x-y+7z-47=0
\]
Su vector normal es:
\[
\vec n=(4,-1,7)
\]
La proyección ortogonal de \(P(4,3,0)\) sobre el plano se calcula con:
\[
P_{\pi}=P-\frac{4x_0-y_0+7z_0-47}{4^2+(-1)^2+7^2}(4,-1,7)
\]
Sustituimos \(P(4,3,0)\):
\[
4\cdot4-3+7\cdot0-47=16-3-47=-34
\]
y:
\[
4^2+(-1)^2+7^2=16+1+49=66
\]
Por tanto:
\[
P_{\pi}
=
(4,3,0)-\frac{-34}{66}(4,-1,7)
\]
\[
P_{\pi}
=
(4,3,0)+\frac{17}{33}(4,-1,7)
\]
\[
P_{\pi}
=
\left(4+\frac{68}{33},\ 3-\frac{17}{33},\ \frac{119}{33}\right)
\]
\[
P_{\pi}
=
\left(\frac{200}{33},\frac{82}{33},\frac{119}{33}\right)
\]
Respuesta: el cuarto micrófono debe colocarse en
\[
\boxed{M_4=\left(\frac{200}{33},\frac{82}{33},\frac{119}{33}\right)}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si un objeto cuelga del techo, su altura se obtiene restando la longitud del cable a la altura del techo.
- Tres puntos no alineados determinan un único plano.
- El producto vectorial de dos vectores del plano da un vector normal al plano.
- La proyección ortogonal de un punto sobre un plano se realiza siguiendo la dirección normal al plano.
- Conviene comprobar que las coordenadas obtenidas cumplen la ecuación del plano.