3A – Intersección de rectas con parámetro
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean las rectas
\[
r\equiv \frac{x}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}
\]
y
\[
s\equiv x-1=\frac{y-m}{m-1}=\frac{z-3}{3}.
\]
- Comprobar que las rectas \(r\) y \(s\) se cortan para cualquier valor de \(m\). (1,5 puntos)
- Para \(m=6\), hallar el punto de intersección de las rectas \(r\) y \(s\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos dos rectas dadas en forma continua o simétrica.
Para estudiar si se cortan, conviene pasarlas a forma paramétrica:
- La recta \(r\) dependerá de un parámetro.
- La recta \(s\) dependerá de otro parámetro.
Si encontramos valores de los parámetros que hacen coincidir las tres coordenadas, las rectas se cortan.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Rectas en el espacio.
- Forma continua y forma paramétrica de una recta.
- Intersección de rectas.
- Rectas dependientes de un parámetro.
La clave es resolver el sistema que se obtiene al igualar las coordenadas de ambas rectas.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos la recta \(r\) usando \(\lambda\):
\[
r:
\begin{cases}
x=4\lambda\\
y=1-2\lambda\\
z=2\lambda
\end{cases}
\]
Parametrizamos la recta \(s\) usando \(\mu\):
\[
s:
\begin{cases}
x=1+\mu\\
y=m+(m-1)\mu\\
z=3+3\mu
\end{cases}
\]
Después igualaremos coordenada a coordenada para comprobar si existe un punto común.
🟣 Resolución paso a paso
a) Comprobación de que las rectas se cortan para cualquier \(m\)
Escribimos la recta \(r\) en forma paramétrica:
\[
r:
\begin{cases}
x=4\lambda\\
y=1-2\lambda\\
z=2\lambda
\end{cases}
\]
Escribimos la recta \(s\) en forma paramétrica:
\[
s:
\begin{cases}
x=1+\mu\\
y=m+(m-1)\mu\\
z=3+3\mu
\end{cases}
\]
Para que las rectas se corten, debe cumplirse:
\[
4\lambda=1+\mu
\]
\[
1-2\lambda=m+(m-1)\mu
\]
\[
2\lambda=3+3\mu
\]
De la primera ecuación:
\[
\mu=4\lambda-1
\]
Sustituimos en la tercera:
\[
2\lambda=3+3(4\lambda-1)
\]
\[
2\lambda=3+12\lambda-3
\]
\[
2\lambda=12\lambda
\]
\[
10\lambda=0
\]
\[
\lambda=0
\]
Entonces:
\[
\mu=4\cdot0-1=-1
\]
Comprobamos ahora la segunda ecuación:
\[
1-2\cdot0=m+(m-1)(-1)
\]
\[
1=m-m+1
\]
\[
1=1
\]
La igualdad se cumple para cualquier valor de \(m\).
Por tanto, las rectas \(r\) y \(s\) se cortan para todo \(m\in\mathbb{R}\).
b) Punto de intersección para \(m=6\)
En el apartado anterior hemos obtenido que el punto de corte se alcanza para:
\[
\lambda=0
\]
Sustituimos en la recta \(r\):
\[
r:
\begin{cases}
x=4\lambda\\
y=1-2\lambda\\
z=2\lambda
\end{cases}
\]
\[
x=0,\qquad y=1,\qquad z=0
\]
Por tanto, el punto de intersección es:
\[
\boxed{(0,1,0)}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Para estudiar la intersección de dos rectas en el espacio, suele ser más cómodo usar forma paramétrica.
- Conviene usar parámetros distintos para cada recta.
- Dos rectas se cortan si existe un par de valores de los parámetros que iguala las tres coordenadas.
- En este problema, el punto de corte no depende de \(m\).
- Comprobar una igualdad final que se cumple para todo \(m\) permite cerrar correctamente la discusión.