3B – Perpendicularidad y volumen con vectores
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el vector
\[
\vec{u}=(3,-1,5).
\]
- Determinar \(a\) para que el vector \(\vec{t}=(1,a,0)\) sea perpendicular a \(\vec{u}\). (0,75 puntos)
- Determinar un vector \(\vec{w}\) perpendicular a \(\vec{u}=(3,-1,5)\) y \(\vec{v}=(2,6,0)\). (0,75 puntos)
- Dados \(\vec{u}=(3,-1,5)\), \(\vec{v}=(2,6,0)\) y \(\vec{w}=(-3,1,2)\), determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El problema reúne tres aplicaciones fundamentales de los vectores en el espacio.
En el apartado a), la expresión:
\(\vec{t}\) es perpendicular a \(\vec{u}\)
significa que su producto escalar debe ser cero:
\[
\vec{t}\cdot\vec{u}=0
\]
En el apartado b), necesitamos un vector perpendicular simultáneamente a dos vectores. Para obtenerlo utilizaremos:
\[
\vec{u}\times\vec{v}
\]
En el apartado c), el volumen del paralelepípedo definido por tres vectores se calcula mediante el valor absoluto del producto mixto:
\[
V=\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|
\]
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
Intervienen tres ideas principales:
- Producto escalar, para estudiar la perpendicularidad entre dos vectores.
- Producto vectorial, para obtener un vector perpendicular a otros dos.
- Producto mixto, para calcular el volumen de un paralelepípedo.
Es un problema que conecta directamente las tres operaciones fundamentales con vectores en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), imponemos la condición de perpendicularidad:
\[
\vec{u}\cdot\vec{t}=0
\]
En el apartado b), calculamos:
\[
\vec{u}\times\vec{v}
\]
El vector obtenido será perpendicular a los dos vectores iniciales. Podemos simplificarlo dividiendo sus componentes por un factor común.
En el apartado c), calculamos el producto mixto:
\[
V=
\left|
\begin{vmatrix}
3&-1&5\\
2&6&0\\
-3&1&2
\end{vmatrix}
\right|
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Vector perpendicular a \(\vec{u}\)
Tenemos:
\[
\vec{u}=(3,-1,5)
\]
y:
\[
\vec{t}=(1,a,0)
\]
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero:
\[
\vec{u}\cdot\vec{t}=0
\]
Calculamos:
\[
(3,-1,5)\cdot(1,a,0)=0
\]
\[
3\cdot1+(-1)\cdot a+5\cdot0=0
\]
\[
3-a=0
\]
Por tanto:
\[
\boxed{a=3}
\]
El vector buscado es:
\[
\vec{t}=(1,3,0)
\]
Podemos comprobarlo:
\[
(3,-1,5)\cdot(1,3,0)=3-3=0
\]
b) Vector perpendicular a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\)
Tenemos:
\[
\vec{u}=(3,-1,5)
\]
\[
\vec{v}=(2,6,0)
\]
Calculamos su producto vectorial:
\[
\vec{u}\times\vec{v}
=
\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
3&-1&5\\
2&6&0
\end{vmatrix}
\]
Desarrollamos:
\[
\vec{u}\times\vec{v}
=
\left(
(-1)\cdot0-5\cdot6,\;
5\cdot2-3\cdot0,\;
3\cdot6-(-1)\cdot2
\right)
\]
\[
\vec{u}\times\vec{v}=(-30,10,20)
\]
Podemos simplificar dividiendo entre \(10\):
\[
(-30,10,20)=10(-3,1,2)
\]
Por tanto, un vector perpendicular a ambos es:
\[
\boxed{\vec{w}=(-3,1,2)}
\]
Comprobamos:
\[
\vec{u}\cdot\vec{w}
=
3(-3)+(-1)(1)+5(2)
=
-9-1+10=0
\]
y:
\[
\vec{v}\cdot\vec{w}
=
2(-3)+6(1)+0(2)
=
-6+6=0
\]
Por tanto, \(\vec{w}\) es perpendicular a los dos vectores.
c) Volumen del paralelepípedo
El volumen del paralelepípedo definido por tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto:
\[
V=
\left|
\begin{vmatrix}
3&-1&5\\
2&6&0\\
-3&1&2
\end{vmatrix}
\right|
\]
Desarrollamos el determinante por la primera fila:
\[
V=
\left|
3
\begin{vmatrix}
6&0\\
1&2
\end{vmatrix}
-
(-1)
\begin{vmatrix}
2&0\\
-3&2
\end{vmatrix}
+
5
\begin{vmatrix}
2&6\\
-3&1
\end{vmatrix}
\right|
\]
Calculamos los determinantes de orden \(2\):
\[
V=
\left|
3(12)+1(4)+5(2+18)
\right|
\]
\[
V=
\left|
36+4+100
\right|
\]
\[
V=140
\]
Respuesta: el volumen del paralelepípedo es
\[
\boxed{140\text{ unidades}^3}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.
- El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos.
- Un vector obtenido mediante producto vectorial puede simplificarse multiplicándolo o dividiéndolo por un número distinto de cero.
- El volumen de un paralelepípedo se calcula con el valor absoluto del producto mixto.
- Si el producto mixto fuera cero, los tres vectores serían coplanarios y el volumen sería nulo.