2 – Exponencial con área
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera la función
\[
f(x)=2xe^{-2x^2}.
\]
- Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. (1,5 puntos)
- Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función \(f\) y el eje de abscisas en el intervalo \([0,2]\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función es:
\[
f(x)=2xe^{-2x^2}
\]
Está formada por el producto de:
- Un factor lineal: \(2x\).
- Un factor exponencial: \(e^{-2x^2}\).
Como la función exponencial está definida para cualquier número real, no aparece ninguna restricción en el dominio.
En el apartado b), como el intervalo es \([0,2]\), la función es positiva o nula porque \(2x\geq0\) y \(e^{-2x^2}>0\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de funciones exponenciales.
- Derivada de un producto.
- Regla de la cadena.
- Monotonía y extremos relativos.
- Asíntotas horizontales.
- Área bajo una curva mediante integrales.
La integral del apartado b) se puede resolver observando que la derivada de \(-2x^2\) es proporcional a \(x\), por lo que aparece un cambio de variable inmediato.
🟢 Estrategia de resolución
Para estudiar la monotonía calculamos la derivada:
\[
f'(x)
\]
Después estudiamos el signo de esa derivada para determinar dónde la función crece o decrece.
Para las asíntotas horizontales calculamos:
\[
\lim_{x\to+\infty}2xe^{-2x^2}
\qquad \text{y} \qquad
\lim_{x\to-\infty}2xe^{-2x^2}
\]
Para el área en \([0,2]\), como \(f(x)\geq0\), calculamos directamente:
\[
A=\int_0^2 2xe^{-2x^2}\,dx
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Dominio, monotonía, extremos y asíntotas
La función es:
\[
f(x)=2xe^{-2x^2}
\]
Como \(e^{-2x^2}\) está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\), el dominio es:
\[
\boxed{D(f)=\mathbb{R}}
\]
Calculamos la derivada usando la regla del producto:
\[
f'(x)=2e^{-2x^2}+2x\cdot e^{-2x^2}\cdot(-4x)
\]
\[
f'(x)=2e^{-2x^2}-8x^2e^{-2x^2}
\]
Sacamos factor común:
\[
f'(x)=2e^{-2x^2}(1-4x^2)
\]
Como:
\[
2e^{-2x^2}>0
\]
el signo de \(f'(x)\) depende de:
\[
1-4x^2
\]
Resolvemos:
\[
1-4x^2=0
\]
\[
4x^2=1
\]
\[
x=\pm\frac12
\]
Estudiamos el signo:
- Si \(x < -\frac12\), entonces \(f'(x) < 0 \).
- Si \(-\frac12 < x < \frac12\), entonces \(f'(x) > 0\).
- Si \(x > \frac12\), entonces \(f'(x) <0 \).
Por tanto:
\[
\boxed{\text{Decrece en }(-\infty,-\frac12)\cup (\frac12,+\infty)}
\]
\[
\boxed{\text{Crece en }(-\frac12,\frac12)}
\]
En \(x=-\frac12\), la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un mínimo relativo:
\[
f\left(-\frac12\right)=2\left(-\frac12\right)e^{-2\left(\frac14\right)}
\]
\[
f\left(-\frac12\right)=-e^{-1/2}
\]
Mínimo relativo:
\[
\boxed{\left(-\frac12,-e^{-1/2}\right)}
\]
En \(x=\frac12\), la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un máximo relativo:
\[
f\left(\frac12\right)=2\left(\frac12\right)e^{-2\left(\frac14\right)}
\]
\[
f\left(\frac12\right)=e^{-1/2}
\]
Máximo relativo:
\[
\boxed{\left(\frac12,e^{-1/2}\right)}
\]
Estudiamos las asíntotas.
Cuando \(x\to+\infty\), el factor exponencial \(e^{-2x^2}\) tiende a \(0\) mucho más rápido de lo que crece \(2x\), por tanto:
\[
\lim_{x\to+\infty}2xe^{-2x^2}=0
\]
Cuando \(x\to-\infty\), ocurre lo mismo:
\[
\lim_{x\to-\infty}2xe^{-2x^2}=0
\]
Por tanto, hay una asíntota horizontal:
\[
\boxed{y=0}
\]
No hay asíntotas verticales, porque el dominio es todo \(\mathbb{R}\).
b) Área limitada por la gráfica y el eje \(OX\) en \([0,2]\)
Queremos calcular:
\[
A=\int_0^2 2xe^{-2x^2}\,dx
\]
En el intervalo \([0,2]\), la función es positiva o nula, por lo que el área coincide con la integral definida.
Podemos reconocer directamente una primitiva (integral inmediata):
\[
\int 2xe^{-2x^2}\,dx=-\frac12e^{-2x^2}+C
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
A=
\left[-\frac12e^{-2x^2}\right]_0^2
\]
\[
A=-\frac12e^{-8}-\left(-\frac12e^0\right)
\]
\[
A=\frac12-\frac12e^{-8}
\]
\[
A=\frac{1-e^{-8}}{2}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{A=\frac{1-e^{-8}}{2}}
\]
Aproximadamente:
\[
\boxed{A\approx0,4998}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Las funciones exponenciales \(e^{g(x)}\) están definidas siempre que lo esté \(g(x)\).
- Para estudiar crecimiento y decrecimiento se analiza el signo de la derivada.
- Los cambios de signo de la derivada permiten identificar máximos y mínimos relativos.
- La función \(e^{-2x^2}\) tiende a \(0\) cuando \(x\to\pm\infty\).
- Antes de calcular un área con una integral conviene comprobar si la función es positiva o negativa en el intervalo.