4B – Urna con bolas rojas y azules
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.
- Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. (0,75 puntos)
- Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. (0,75 puntos)
- Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La urna contiene:
- 4 bolas rojas
- 2 bolas azules
En total hay:
\[
6\text{ bolas}
\]
La extracción es sin reemplazamiento, por lo que después de sacar la primera bola quedan solo \(5\) bolas en la urna.
En el apartado c), la frase “si la segunda bola es azul” indica una probabilidad condicionada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Extracciones sin reemplazamiento.
- Sucesos dependientes.
- Regla del producto.
- Probabilidad condicionada.
La clave es tener en cuenta que las probabilidades cambian en la segunda extracción porque la primera bola no se devuelve a la urna.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos:
- \(R\): sacar una bola roja.
- \(A\): sacar una bola azul.
Para que las bolas sean de distinto color, pueden ocurrir dos casos:
\[
R_1A_2
\qquad \text{o} \qquad
A_1R_2
\]
Para el apartado b), sumaremos los caminos en los que la segunda bola es azul:
\[
R_1A_2
\qquad \text{o} \qquad
A_1A_2
\]
Para el apartado c), aplicaremos probabilidad condicionada:
\[
P(R_1/A_2)=\frac{P(R_1\cap A_2)}{P(A_2)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad de que sean de distinto color
Las bolas serán de distinto color si sale primero roja y después azul, o primero azul y después roja:
\[
P(\text{distinto color})=P(R_1A_2)+P(A_1R_2)
\]
Calculamos:
\[
P(R_1A_2)=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}
\]
\[
P(A_1R_2)=\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}
\]
Por tanto:
\[
P(\text{distinto color})
=
\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}
+
\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}
\]
\[
P(\text{distinto color})
=
\frac{8}{30}+\frac{8}{30}
=
\frac{16}{30}
=
\frac{8}{15}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{8}{15}}
\]
b) Probabilidad de que la segunda bola sea azul
La segunda bola será azul si ocurre:
\[
R_1A_2
\qquad \text{o} \qquad
A_1A_2
\]
Por tanto:
\[
P(A_2)=P(R_1A_2)+P(A_1A_2)
\]
\[
P(A_2)=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}
+
\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}
\]
\[
P(A_2)=\frac{8}{30}+\frac{2}{30}
=
\frac{10}{30}
=
\frac{1}{3}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{1}{3}}
\]
c) Probabilidad de que la primera sea roja sabiendo que la segunda es azul
Nos piden:
\[
P(R_1/A_2)
\]
Aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada:
\[
P(R_1/A_2)=\frac{P(R_1\cap A_2)}{P(A_2)}
\]
Ya sabemos que:
\[
P(R_1\cap A_2)=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{8}{30}
\]
y:
\[
P(A_2)=\frac{1}{3}
\]
Por tanto:
\[
P(R_1/A_2)=\frac{\frac{8}{30}}{\frac{1}{3}}
\]
\[
P(R_1/A_2)=\frac{8}{30}\cdot3
=
\frac{24}{30}
=
\frac{4}{5}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{4}{5}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una extracción sin reemplazamiento, después de la primera bola quedan menos casos posibles.
- Para calcular “distinto color” hay que sumar los dos órdenes posibles: roja-azul y azul-roja.
- La probabilidad de que la segunda bola sea azul se puede calcular sumando todos los caminos que acaban en azul.
- La expresión “si la segunda bola es azul” indica una probabilidad condicionada.
- Un error frecuente es tratar las extracciones como independientes cuando no hay reemplazamiento.