4A – Truchas del Río Tormes
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(28\) cm y desviación típica \(6\) cm.
- Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre \(19\) cm y \(40\) cm. (1,5 puntos)
- Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de \(38\) cm, calcular la probabilidad de que midiera más de \(42\) cm. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La variable aleatoria es:
\[
X=\text{tamaño de una trucha, en centímetros}
\]
y sigue una distribución normal:
\[
X\sim N(28,6)
\]
Los datos clave son:
- Media: \(\mu=28\)
- Desviación típica: \(\sigma=6\)
- Intervalo del apartado a): \(19 < X < 40\)
- Condición del apartado b): \(X > 38\)
En el apartado b), la frase “sabiendo que” indica una probabilidad condicionada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Uso de la tabla de la normal típica.
- Probabilidad condicionada.
Para tipificar usamos:
\[
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
\]
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), calcularemos:
\[
P(19 < X < 40)
\]
Para ello tipificaremos los dos extremos del intervalo.
En el apartado b), debemos calcular:
\[
P(X > 42 / X > 38)
\]
Como el suceso \(X > 42\) está contenido en \(X > 38\), se cumple:
\[
P(X > 42 / X > 38)=\frac{P(X > 42)}{P(X > 38)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Porcentaje de truchas entre \(19\) cm y \(40\) cm
Queremos calcular:
\[
P(19 < X < 40)
\]
Tipificamos \(19\):
\[
Z=\frac{19-28}{6}=\frac{-9}{6}=-1,5
\]
Tipificamos \(40\):
\[
Z=\frac{40-28}{6}=\frac{12}{6}=2
\]
Por tanto:
\[
P(19 < X < 40)=P(-1,5 < Z < 2)
\]
Usando la tabla de la normal:
\[
P(Z < 2)=0,9772
\]
y:
\[
P(Z < -1,5)=0,0668
\]
Luego:
\[
P(-1,5 < Z < 2)=0,9772-0,0668
\]
\[
P(-1,5 < Z < 2)=0,9104
\]
Respuesta:
\[
\boxed{0,9104}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{91,04\%}
\]
b) Probabilidad de que mida más de \(42\) cm sabiendo que mide más de \(38\) cm
Nos piden:
\[
P(X>42/X>38)
\]
Como \(X>42\) está contenido en \(X>38\), aplicamos:
\[
P(X>42/X>38)=\frac{P(X>42)}{P(X>38)}
\]
Tipificamos \(42\):
\[
Z=\frac{42-28}{6}=\frac{14}{6}\approx2,33
\]
Por tanto:
\[
P(X>42)=P(Z>2,33)
\]
Usando la tabla:
\[
P(Z<2,33)=0,9901
\]
Luego:
\[
P(Z>2,33)=1-0,9901=0,0099
\]
Tipificamos \(38\):
\[
Z=\frac{38-28}{6}=\frac{10}{6}\approx1,67
\]
Por tanto:
\[
P(X>38)=P(Z>1,67)
\]
Usando la tabla:
\[
P(Z<1,67)=0,9525
\]
Luego:
\[
P(Z>1,67)=1-0,9525=0,0475
\]
Finalmente:
\[
P(X>42/X>38)=\frac{0,0099}{0,0475}
\]
\[
P(X>42/X>38)\approx0,208
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(X>42/X>38)\approx0,208}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{20,8\%}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Para trabajar con una normal \(N(\mu,\sigma)\), se tipifica con \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).
- Las probabilidades entre dos valores se calculan restando probabilidades acumuladas.
- La expresión “sabiendo que” indica una probabilidad condicionada.
- Si un suceso está contenido en otro, la probabilidad condicionada se simplifica como cociente de probabilidades.
- En la normal, los valores alejados de la media tienen probabilidades pequeñas.