3A – Recta y plano con parámetro
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean el plano
\[
\pi \equiv 5x+my+z=2
\]
y la recta
\[
r\equiv (x,y,z)=(1,1,0)+t(-1,-1,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
\]
- Determinar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\) en función de \(m\). (1,5 puntos)
- Para \(m=1\), calcular el plano \(\pi'\) que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos un plano dependiente de un parámetro \(m\) y una recta dada en forma paramétrica.
El plano tiene vector normal:
\[
\vec n_{\pi}=(5,m,1)
\]
La recta pasa por el punto:
\[
P(1,1,0)
\]
y tiene vector director:
\[
\vec v=(-1,-1,2)
\]
Para estudiar la posición relativa de una recta y un plano, debemos comparar el vector director de la recta con el vector normal del plano.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta en forma paramétrica.
- Plano en forma general.
- Vector normal de un plano.
- Posición relativa de recta y plano.
- Planos perpendiculares.
- Producto vectorial.
Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano.
🟢 Estrategia de resolución
Calcularemos:
\[
\vec v\cdot \vec n_{\pi}
\]
Si este producto escalar es distinto de cero, la recta corta al plano en un punto.
Si es cero, la recta es paralela al plano. En ese caso, comprobaremos si un punto de la recta pertenece al plano:
- Si pertenece, la recta está contenida en el plano.
- Si no pertenece, la recta es paralela y exterior al plano.
Para el apartado b), buscaremos un plano que contenga a \(r\) y cuyo vector normal sea perpendicular al vector normal de \(\pi\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Posición relativa de \(r\) y \(\pi\)
El vector director de la recta es:
\[
\vec v=(-1,-1,2)
\]
El vector normal del plano es:
\[
\vec n_{\pi}=(5,m,1)
\]
Calculamos el producto escalar:
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}
=
(-1,-1,2)\cdot(5,m,1)
\]
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}
=
-5-m+2
\]
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}=-(m+3)
\]
Si:
\[
m\neq -3
\]
entonces:
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}\neq0
\]
Por tanto, la recta \(r\) corta al plano \(\pi\) en un único punto.
Estudiamos ahora el caso especial:
\[
m=-3
\]
Entonces:
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}=0
\]
La recta es paralela al plano o está contenida en él.
Comprobamos si el punto \(P(1,1,0)\), que pertenece a la recta, pertenece también al plano:
\[
5x+my+z=2
\]
Sustituimos \(m=-3\) y \(P(1,1,0)\):
\[
5\cdot1-3\cdot1+0=2
\]
\[
2=2
\]
Por tanto, el punto pertenece al plano.
Así, para \(m=-3\), la recta está contenida en el plano.
Conclusión:
- Si \(m\neq -3\), la recta \(r\) corta al plano \(\pi\) en un punto.
- Si \(m=-3\), la recta \(r\) está contenida en el plano \(\pi\).
b) Plano \(\pi'\) para \(m=1\)
Para \(m=1\), el plano \(\pi\) es:
\[
\pi\equiv 5x+y+z=2
\]
Su vector normal es:
\[
\vec n_{\pi}=(5,1,1)
\]
Queremos un plano \(\pi'\) que contenga a la recta \(r\). Por tanto, el vector director de \(r\):
\[
\vec v=(-1,-1,2)
\]
debe ser un vector contenido en \(\pi'\).
Además, \(\pi'\) debe ser perpendicular a \(\pi\). Por tanto, un vector normal de \(\pi'\) debe ser perpendicular a \(\vec n_{\pi}\).
Podemos obtener un vector normal de \(\pi'\) haciendo el producto vectorial:
\[
\vec n_{\pi'}=\vec v\times\vec n_{\pi}
\]
Calculamos:
\[
\vec n_{\pi'}=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
-1&-1&2\\
5&1&1
\end{vmatrix}
\]
\[
\vec n_{\pi'}=(-3,11,4)
\]
Como \(\pi'\) contiene a la recta \(r\), pasa por el punto:
\[
P(1,1,0)
\]
La ecuación del plano \(\pi'\) es:
\[
-3(x-1)+11(y-1)+4(z-0)=0
\]
Desarrollamos:
\[
-3x+3+11y-11+4z=0
\]
\[
-3x+11y+4z-8=0
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\pi'\equiv -3x+11y+4z-8=0}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El vector normal de un plano \(ax+by+cz=d\) es \((a,b,c)\).
- Una recta corta a un plano si su vector director no es perpendicular al vector normal del plano.
- Si la recta es paralela al plano, hay que comprobar si un punto de la recta pertenece al plano.
- Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares.
- El producto vectorial permite obtener un vector perpendicular a otros dos vectores.