3B – Planos paralelos y perpendiculares
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean el plano
\[
\pi \equiv x+y-z=2
\]
y la recta
\[
r\equiv \frac{x-1}{-3}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-1}.
\]
- Calcular la ecuación de un plano \(\pi'\) paralelo al plano \(\pi\) y que esté a una distancia de \(2\sqrt{3}\) unidades de la recta \(r\). ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. (1,5 puntos)
- Calcular la ecuación de un plano \(\pi''\) perpendicular al plano \(\pi\) y que pasa por los puntos \(P(1,0,1)\) y \(Q(0,1,0)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El plano \(\pi\) tiene vector normal:
\[
\vec n_\pi=(1,1,-1)
\]
La recta \(r\) pasa por el punto:
\[
A(1,0,2)
\]
y tiene vector director:
\[
\vec v=(-3,2,-1)
\]
Comprobamos la relación entre la recta y el plano:
\[
\vec v\cdot\vec n_\pi=(-3,2,-1)\cdot(1,1,-1)=-3+2+1=0
\]
Por tanto, la recta \(r\) es paralela al plano \(\pi\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta en forma continua.
- Plano en forma general.
- Vector director de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Distancia entre punto y plano.
- Planos paralelos y planos perpendiculares.
Si una recta es paralela a un plano, la distancia entre ambos se puede calcular tomando cualquier punto de la recta y calculando su distancia al plano.
🟢 Estrategia de resolución
Como \(\pi'\) debe ser paralelo a \(\pi\), tendrá el mismo vector normal:
\[
\vec n=(1,1,-1)
\]
Por tanto, su ecuación será:
\[
\pi'\equiv x+y-z=d
\]
Después imponemos que la distancia desde la recta \(r\) a ese plano sea \(2\sqrt{3}\). Como la recta es paralela al plano, basta usar el punto \(A(1,0,2)\).
Para el apartado b), el plano \(\pi''\) debe contener la recta que pasa por \(P\) y \(Q\), y además ser perpendicular a \(\pi\).
Buscaremos un vector normal de \(\pi''\) que sea perpendicular tanto a \(\overrightarrow{PQ}\) como a \(\vec n_\pi\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano paralelo a \(\pi\) a distancia \(2\sqrt{3}\) de la recta \(r\)
Como \(\pi'\) debe ser paralelo a:
\[
\pi\equiv x+y-z=2
\]
su ecuación será de la forma:
\[
\pi'\equiv x+y-z=d
\]
Tomamos un punto de la recta \(r\). De su forma continua:
\[
\frac{x-1}{-3}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-1}
\]
se obtiene el punto:
\[
A(1,0,2)
\]
La distancia de \(A\) al plano \(\pi'\equiv x+y-z-d=0\) es:
\[
d(A,\pi')=
\frac{|1+0-2-d|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}
\]
\[
d(A,\pi')=\frac{|-1-d|}{\sqrt{3}}
\]
Queremos que esta distancia sea:
\[
2\sqrt{3}
\]
Por tanto:
\[
\frac{|-1-d|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}
\]
Multiplicamos por \(\sqrt{3}\):
\[
|-1-d|=6
\]
De aquí obtenemos dos posibilidades:
\[
-1-d=6
\qquad \text{o} \qquad
-1-d=-6
\]
En el primer caso:
\[
-d=7
\]
\[
d=-7
\]
En el segundo caso:
\[
-d=-5
\]
\[
d=5
\]
Por tanto, hay dos planos:
\[
\pi'_1\equiv x+y-z=5
\]
y:
\[
\pi'_2\equiv x+y-z=-7
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\pi'_1\equiv x+y-z=5}
\]
\[
\boxed{\pi'_2\equiv x+y-z=-7}
\]
No es único. Hay dos planos paralelos a \(\pi\) situados a distancia \(2\sqrt{3}\) de la recta \(r\), uno a cada lado de la familia de planos paralelos.
b) Plano perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\) y \(Q\)
Queremos un plano \(\pi''\) que pase por:
\[
P(1,0,1)
\qquad \text{y} \qquad
Q(0,1,0)
\]
Calculamos el vector:
\[
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0,1,0)-(1,0,1)
\]
\[
\overrightarrow{PQ}=(-1,1,-1)
\]
El plano \(\pi\) tiene vector normal:
\[
\vec n_\pi=(1,1,-1)
\]
Para que \(\pi''\) sea perpendicular a \(\pi\), su vector normal debe ser perpendicular a \(\vec n_\pi\).
Además, como \(\pi''\) contiene a \(P\) y \(Q\), su vector normal también debe ser perpendicular a \(\overrightarrow{PQ}\).
Por tanto, calculamos:
\[
\vec n_{\pi''}=\overrightarrow{PQ}\times \vec n_\pi
\]
\[
\vec n_{\pi''}=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
-1&1&-1\\
1&1&-1
\end{vmatrix}
\]
\[
\vec n_{\pi''}=(0,-2,-2)
\]
Podemos simplificar:
\[
\vec n_{\pi''}=(0,1,1)
\]
Usamos el punto \(P(1,0,1)\) y el vector normal \((0,1,1)\):
\[
0(x-1)+1(y-0)+1(z-1)=0
\]
\[
y+z-1=0
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\pi''\equiv y+z-1=0}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los planos paralelos tienen vectores normales proporcionales.
- Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular al vector normal del plano.
- La distancia entre una recta paralela a un plano y el plano se calcula usando cualquier punto de la recta.
- A una distancia fija de una recta paralela pueden aparecer dos planos paralelos, uno a cada lado.
- Para hallar un plano perpendicular a otro y que contiene una recta, conviene construir su vector normal mediante producto vectorial.