E5 – Extremos comunes y unicidad de una raíz
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Determinar \(a\) y \(b\) de modo que \(f(x)=x^2-a\) y \(g(x)=(x-b)e^x\) tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. (1 punto)
- Demostrar que \(h(x)=2x+\sin x\) solo se anula en \(x=0\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Límites laterales.
- Continuidad y derivabilidad.
- Teoremas de existencia y unicidad.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Extremo común
\[
f'(x)=2x,
\]
por lo que el único punto crítico de \(f\) es \(x=0\). Para que \(g\) tenga también allí un extremo:
\[
g'(x)=(x-b+1)e^x,\qquad g'(0)=1-b=0,
\]
luego \(b=1\). Ahora imponemos que ambas funciones tomen el mismo valor:
\[
f(0)=-a,\qquad g(0)=-1 \quad\Longrightarrow\quad a=1.
\]
Además \(f''(0)=2>0\) y \(g''(0)=1>0\), así que ambas tienen un mínimo.
\(\boxed{a=1,\ b=1}\).
b) Única raíz
\(h(0)=0\). Además,
\[
h'(x)=2+\cos x\ge 1>0
\]
para todo \(x\in\mathbb R\). Por tanto, \(h\) es estrictamente creciente en toda la recta real y no puede cortar dos veces el eje \(OX\).
Como ya sabemos que se anula en \(0\), esa raíz es única: \(\boxed{x=0}\).
Qué debes aprender de este problema
- Un extremo común exige que las dos derivadas se anulen en el mismo punto.
- La estricta monotonía permite demostrar la unicidad de una raíz.
- Conviene verificar que los puntos críticos son realmente extremos.