E6 – Estudio e integral de una función logarítmica
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Determinar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de \(f(x)=x(\ln x-1)\). (1 punto)
- Calcular \(\displaystyle\int x(\ln x-1)\,dx\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Primitivas.
- Integración por partes o cambio de variable.
- Regla de Barrow y cálculo de áreas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Estudio de la función
El logaritmo exige \(x>0\), así que \(D_f=(0,\infty)\).
\[
f'(x)=\ln x.
\]
Como \(\ln x<0\) en \((0,1)\) y \(\ln x>0\) en \((1,\infty)\), la función decrece en \((0,1)\) y crece en \((1,\infty)\).
En \(x=1\) tiene un mínimo relativo —también absoluto— de valor \(f(1)=-1\).
b) Primitiva por partes
Separamos:
\[
\int x(\ln x-1)\,dx=\int x\ln x\,dx-\int x\,dx.
\]
En la primera integral tomamos \(u=\ln x\), \(dv=x\,dx\). Entonces \(du=dx/x\) y \(v=x^2/2\):
\[
\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx
=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}.
\]
Por tanto,
\[
\boxed{\int x(\ln x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{3x^2}{4}+C}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El dominio debe fijarse antes de derivar una función logarítmica.
- El signo de la derivada determina la monotonía.
- En (int xln x,dx), la integración por partes reduce el logaritmo.