Razones trigonométricas
Aprende a medir ángulos, interpretar el seno, el coseno y la tangente y utilizar la circunferencia goniométrica para trabajar con cualquier ángulo.
La trigonometría conecta ángulos y longitudes
Las razones trigonométricas permiten relacionar los lados y los ángulos de un triángulo, calcular alturas y distancias y describir fenómenos periódicos. En este tema construiremos su significado desde el triángulo rectángulo y lo ampliaremos mediante la circunferencia goniométrica.
Ángulos en grados y radianes
Un ángulo puede medirse en grados sexagesimales o en radianes. En trigonometría es necesario manejar con soltura ambos sistemas.
Grados sexagesimales
Una vuelta completa se divide en \(360^\circ\). Por tanto, un ángulo llano mide \(180^\circ\) y un ángulo recto mide \(90^\circ\).
Radianes
Un radián es el ángulo central que abarca un arco cuya longitud coincide con el radio de la circunferencia.
Multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\)
Multiplica por \(\dfrac{180}{\pi}\)
Convierte \(225^\circ\) a radianes
Aplicamos el factor de conversión:
Simplificamos la fracción:
Seno, coseno y tangente
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo comparan las longitudes de sus lados.
Los lados dependen del ángulo de referencia
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto. Sin embargo, los nombres cateto opuesto y cateto contiguo dependen del ángulo agudo que estemos considerando.
Seno
Compara la longitud del cateto opuesto con la longitud de la hipotenusa.
Coseno
Compara la longitud del cateto contiguo con la longitud de la hipotenusa.
Tangente
Compara la longitud del cateto opuesto con la del cateto contiguo.
Calcula las razones trigonométricas de \(\alpha\) en un triángulo rectángulo de lados \(3\), \(4\) y \(5\)
Respecto del ángulo \(\alpha\), el cateto opuesto mide \(3\), el cateto contiguo mide \(4\) y la hipotenusa mide \(5\).
También se verifica que:
La circunferencia goniométrica
La definición mediante triángulos rectángulos solo permite trabajar inicialmente con ángulos agudos. La circunferencia goniométrica amplía las razones trigonométricas a cualquier ángulo.
Una circunferencia de radio \(1\)
Se denomina circunferencia goniométrica a la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio \(1\).
Si el lado final del ángulo \(\alpha\) corta la circunferencia en el punto \(P(x,y)\), entonces:
Signos de las razones en cada cuadrante
El signo del seno y del coseno depende de las coordenadas del punto asociado al ángulo. El signo de la tangente se obtiene al dividir ambos.
| Cuadrante | Intervalo | \(\operatorname{sen}\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\operatorname{tg}\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) | + | + | + |
| II | \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) | + | − | − |
| III | \(180^\circ<\alpha<270^\circ\) | − | − | + |
| IV | \(270^\circ<\alpha<360^\circ\) | − | + | − |
Primer cuadrante
Seno, coseno y tangente son positivos.
Segundo cuadrante
El seno es positivo; coseno y tangente son negativos.
Tercer cuadrante
La tangente es positiva; seno y coseno son negativos.
Cuarto cuadrante
El coseno es positivo; seno y tangente son negativos.
Determina el signo de las razones trigonométricas de \(210^\circ\)
Como \(180^\circ<210^\circ<270^\circ\), el ángulo pertenece al tercer cuadrante.
La tangente es positiva porque es el cociente de dos números negativos:
Razones trigonométricas de ángulos notables
Los valores de \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) y \(90^\circ\) deben conocerse de forma exacta.
| Ángulo | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\operatorname{sen}\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\operatorname{tg}\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | No existe |
Calcula \(\operatorname{sen}30^\circ+\cos60^\circ-\operatorname{tg}45^\circ\)
Sustituimos cada razón por su valor exacto:
Relación entre seno, coseno y tangente
Las razones trigonométricas no son independientes. A partir de una de ellas y del cuadrante puede ser posible calcular las restantes.
Identidad fundamental
Se obtiene a partir de la ecuación de la circunferencia de radio \(1\).
Relación con la tangente
La tangente es el cociente entre el seno y el coseno.
Comprueba la identidad fundamental cuando \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac35\) y \(\cos\alpha=\dfrac45\)
Por tanto, los valores son compatibles.
Calcular las demás razones a partir de una conocida
Para calcular las razones restantes es imprescindible conocer el cuadrante, ya que este determina el signo correcto de cada resultado.
Pasos recomendados
- Identifica el cuadrante del ángulo.
- Determina el signo de cada razón.
- Aplica la identidad fundamental.
- Elige correctamente el signo de la raíz.
- Calcula la tangente mediante seno entre coseno.
El cuadrante decide el signo
Al resolver una igualdad como \(\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}\), aparecen dos posibilidades:
La información sobre el cuadrante permite decidir cuál de los dos signos es correcto.
Sabiendo que \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac35\) y que \(\alpha\) pertenece al segundo cuadrante, calcula \(\cos\alpha\) y \(\operatorname{tg}\alpha\)
1. Aplicamos la identidad fundamental:
Sustituimos el seno:
Extraemos la raíz:
Como \(\alpha\) pertenece al segundo cuadrante, el coseno es negativo:
2. Calculamos la tangente:
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(10\) y el cateto contiguo al ángulo \(\alpha\) mide \(8\). Calcula las tres razones.
1. Calculamos el cateto opuesto mediante Pitágoras:
2. Calculamos las razones:
Calcula \(\operatorname{sen}38^\circ\)
Primero comprobamos que la calculadora está configurada en modo grados, normalmente indicado mediante DEG.
Para calcular una razón de un ángulo expresado en radianes, la calculadora debe estar configurada en modo RAD.
Las razones trigonométricas tienen una interpretación geométrica
En un triángulo rectángulo comparan sus lados. En la circunferencia goniométrica, el coseno es la coordenada horizontal y el seno es la coordenada vertical.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Los ángulos pueden medirse en grados o radianes. En un triángulo rectángulo, el seno, el coseno y la tangente relacionan sus lados. En la circunferencia goniométrica, el coseno y el seno son las coordenadas del punto asociado al ángulo. Los signos dependen del cuadrante y las relaciones fundamentales permiten calcular unas razones a partir de otras.
Antes de continuar
- Convierto grados y radianes.
- Distingo cateto opuesto y contiguo.
- Conozco los ángulos notables.
- Determino signos por cuadrantes.
- Calculo razones a partir de una conocida.