Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^2-2x-8}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x=4\), obtenemos \(\frac00\). Para resolver esta indeterminación, factorizamos el denominador:

\[
x^2-2x-8=(x-4)(x+2).
\]

Racionalizamos el numerador para expresar \(\sqrt{x}-2\) mediante \(x-4\):

\[
\sqrt{x}-2
=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.
\]

Sustituimos y simplificamos \(x-4\):

\[
\frac{\sqrt{x}-2}{(x-4)(x+2)}
=\frac1{(\sqrt{x}+2)(x+2)}.
\]

Ahora hacemos \(x\to4\):

\[
\frac1{(2+2)(4+2)}
=\frac1{24}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac1{24}}
\]