1 – Evolución de especies
Aragón · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos \(A\), \(B\) y \(C\). La población de cada especie en el mes \(k\) viene dada por \(a_k\), \(b_k\) y \(c_k\), respectivamente.
La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes \(k+1\) y en el mes anterior \(k\):
\[
\begin{pmatrix}
a_{k+1}\\
b_{k+1}\\
c_{k+1}
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix},
\qquad
M=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
\]
- Si en el instante inicial \(k=0\) hay 100 ejemplares de la especie \(A\), 124 de la especie \(B\) y 234 de la especie \(C\), ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después? (0,5 puntos)
- Razonar, sin calcular \(M^k\), que se cumple la relación
\[
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix}
=
M^k
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}.
\]
(0,5 puntos) - Calcular \(M^k\), con \(k\in\mathbb{N}\). ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La matriz \(M\) indica cómo cambian las poblaciones de un mes al siguiente.
Si multiplicamos:
\[
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix}
\]
obtenemos:
\[
a_{k+1}=a_k
\]
\[
b_{k+1}=a_k+b_k
\]
\[
c_{k+1}=a_k+c_k
\]
Es decir, la especie \(A\) se mantiene constante, mientras que las especies \(B\) y \(C\) aumentan cada mes en una cantidad igual a la población de \(A\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Producto de matrices.
- Potencias de una matriz.
- Modelización matricial de una sucesión.
- Razonamiento por recurrencia.
- Comportamiento a largo plazo de una sucesión matricial.
La clave es interpretar la matriz \(M\) como una regla de evolución que se aplica repetidamente mes a mes.
🟢 Estrategia de resolución
Para el apartado a), calcularemos dos pasos:
\[
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
\]
y después:
\[
\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}.
\]
Para el apartado b), razonaremos que aplicar la matriz una vez lleva del mes \(0\) al mes \(1\), aplicarla dos veces lleva del mes \(0\) al mes \(2\), y aplicarla \(k\) veces lleva del mes \(0\) al mes \(k\).
Para calcular \(M^k\), observaremos que:
\[
M=I+N
\]
donde \(N\) es una matriz tal que:
\[
N^2=0
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Poblaciones dos meses después
El vector inicial es:
\[
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
100\\
124\\
234
\end{pmatrix}
\]
Calculamos el primer mes:
\[
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
100\\
124\\
234
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
100\\
224\\
334
\end{pmatrix}
\]
Calculamos el segundo mes:
\[
\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
100\\
224\\
334
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
100\\
324\\
434
\end{pmatrix}
\]
Respuesta: dos meses después hay:
\[
\boxed{100\text{ ejemplares de }A,\quad 324\text{ de }B,\quad 434\text{ de }C}
\]
b) Justificación de la relación general
Sabemos que:
\[
\begin{pmatrix}
a_{k+1}\\
b_{k+1}\\
c_{k+1}
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix}
\]
Para \(k=0\):
\[
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
\]
Para \(k=1\):
\[
\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2
\end{pmatrix}
=
M
\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_1
\end{pmatrix}
=
M^2
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
\]
Repitiendo el mismo razonamiento, al cabo de \(k\) meses se obtiene:
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix}
=
M^k
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
}
\]
c) Cálculo de \(M^k\)
Escribimos:
\[
M=I+N
\]
donde:
\[
N=
\begin{pmatrix}
0&0&0\\
1&0&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\]
Calculamos:
\[
N^2=
\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}
\]
Por tanto, al elevar \(M=I+N\) a \(k\), todos los términos con \(N^2\) o potencias superiores desaparecen:
\[
M^k=(I+N)^k=I+kN
\]
Así:
\[
M^k=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
k&1&0\\
k&0&1
\end{pmatrix}
\]
Por tanto:
\[
\begin{pmatrix}
a_k\\
b_k\\
c_k
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
k&1&0\\
k&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
b_0\\
c_0
\end{pmatrix}
\]
Multiplicando:
\[
a_k=a_0
\]
\[
b_k=ka_0+b_0
\]
\[
c_k=ka_0+c_0
\]
Conclusión:
- La población de la especie \(A\) permanece constante.
- La población de la especie \(B\) aumenta linealmente con el tiempo.
- La población de la especie \(C\) aumenta linealmente con el tiempo.
En particular, si \(a_0>0\), las poblaciones de \(B\) y \(C\) crecerán indefinidamente al pasar los meses.
\[
\boxed{
M^k=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
k&1&0\\
k&0&1
\end{pmatrix}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una matriz puede representar la evolución de un sistema mes a mes.
- Aplicar la misma matriz varias veces equivale a elevarla a una potencia.
- Si \(M=I+N\) y \(N^2=0\), entonces \(M^k=I+kN\).
- La especie \(A\) se mantiene constante porque \(a_{k+1}=a_k\).
- Las especies \(B\) y \(C\) crecen linealmente porque cada mes suman la población constante de \(A\).