5.1 – Digitalización de expedientes
Aragón · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados.
La universidad dispone de \(70\) archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con \(50\) archiveros.
Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza \(80\) expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes.
Determinar el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.
🟠 Comprensión del enunciado
El equipo inicial tiene:
\[
50 \text{ archiveros}
\]
y cada uno digitaliza:
\[
80 \text{ expedientes al mes}
\]
Si añadimos archiveros, aumenta el número de trabajadores, pero disminuye el rendimiento individual.
Llamamos:
\[
x=\text{número de archiveros que se añaden al equipo inicial}
\]
Entonces:
- El número total de archiveros será \(50+x\).
- Cada archivero digitalizará \(80-x\) expedientes al mes.
Como la universidad dispone de \(70\) archiveros, se cumple:
\[
0\leq x\leq20
\]
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Problemas de optimización.
- Función cuadrática.
- Máximo de una parábola.
- Interpretación de una variable en un contexto real.
La clave es construir una función que exprese el número total de expedientes digitalizados al mes y buscar su máximo.
🟢 Estrategia de resolución
El número total de expedientes digitalizados será:
\[
\text{número de archiveros}\cdot \text{expedientes por archivero}
\]
Con la variable \(x\):
\[
E(x)=(50+x)(80-x)
\]
Esta función es una parábola cóncava hacia abajo, por lo que tendrá un máximo.
Calcularemos ese máximo derivando la función o usando el vértice de la parábola.
🟣 Resolución paso a paso
Planteamiento de la función
Llamamos:
\[
x=\text{número de archiveros añadidos}
\]
Entonces el equipo estará formado por:
\[
50+x
\]
archiveros.
Como por cada archivero añadido se reduce en uno el número de expedientes que digitaliza cada archivero, cada uno digitalizará:
\[
80-x
\]
expedientes al mes.
Por tanto, el número total de expedientes digitalizados al mes es:
\[
E(x)=(50+x)(80-x)
\]
Desarrollamos:
\[
E(x)=4000+80x-50x-x^2
\]
\[
E(x)=4000+30x-x^2
\]
Maximización
Derivamos:
\[
E'(x)=30-2x
\]
Igualamos a cero:
\[
30-2x=0
\]
\[
2x=30
\]
\[
x=15
\]
Como:
\[
E''(x)=-2<0
\]
la función alcanza un máximo para \(x=15\).
Esto significa que hay que añadir \(15\) archiveros al equipo inicial de \(50\).
Por tanto, el número total de archiveros debe ser:
\[
50+15=65
\]
Con \(65\) archiveros, cada uno digitaliza:
\[
80-15=65
\]
expedientes al mes.
El número máximo de expedientes digitalizados sería:
\[
65\cdot65=4225
\]
Respuesta: el equipo debe estar formado por
\[
\boxed{65\text{ archiveros}}
\]
para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.
Qué debes aprender de este problema
- En problemas de optimización conviene definir una variable clara antes de construir la función.
- El total producido se obtiene multiplicando número de trabajadores por producción individual.
- Cuando una cantidad aumenta y otra disminuye linealmente, suele aparecer una función cuadrática.
- Una parábola con coeficiente principal negativo tiene un máximo.
- La solución debe interpretarse en el contexto: \(x=15\) no son archiveros totales, sino archiveros añadidos.