1 – Sistema e inversa matricial
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dado \(k\in\mathbb{R}\), se considera el sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
kx-y-z=1\\
x+ky+2kz=k
\end{cases}
\]
- Discutir el sistema según los valores del parámetro \(k\in\mathbb{R}\) y resolverlo para \(k=-1\). (1,5 puntos)
- Sea \(A\) una matriz cuadrada que verifica \(A^2=I+3A\), donde \(I\) denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de \(A\) no es cero y expresar \(A^{-1}\) en función de \(A\) y de \(I\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El apartado a) presenta un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
Al tener menos ecuaciones que incógnitas, si el sistema es compatible, lo normal es que tenga infinitas soluciones.
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
k&-1&-1\\
1&k&2k
\end{pmatrix}
\]
En el apartado b), la relación:
\[
A^2=I+3A
\]
nos permitirá transformar la igualdad para obtener una expresión del tipo \(A\cdot B=I\), lo que demostrará que \(A\) es invertible.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas lineales con parámetro.
- Rango de una matriz.
- Sistemas compatibles indeterminados.
- Matrices invertibles.
- Relaciones algebraicas entre matrices.
Para discutir el sistema analizaremos el rango de la matriz de coeficientes. Para demostrar que \(A\) es invertible, buscaremos una matriz que multiplicada por \(A\) dé la identidad.
🟢 Estrategia de resolución
En el sistema, basta encontrar un menor de orden 2 que no se anule nunca.
Tomamos las dos primeras columnas de la matriz de coeficientes:
\[
\begin{vmatrix}
k&-1\\
1&k
\end{vmatrix}
=k^2+1
\]
Como:
\[
k^2+1>0
\qquad \text{para todo } k\in\mathbb{R},
\]
la matriz de coeficientes tiene rango 2 para todo \(k\).
En el apartado b), partimos de:
\[
A^2=I+3A
\]
y pasamos todo lo que contiene \(A\) al mismo lado:
\[
A^2-3A=I
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
k&-1&-1\\
1&k&2k
\end{pmatrix}
\]
Calculamos el menor formado por las dos primeras columnas:
\[
\begin{vmatrix}
k&-1\\
1&k
\end{vmatrix}
=
k^2+1
\]
Como:
\[
k^2+1>0
\qquad \text{para todo } k\in\mathbb{R},
\]
la matriz de coeficientes tiene rango 2 para cualquier valor de \(k\):
\[
\operatorname{rg}(A)=2
\]
La matriz ampliada también tiene rango 2, ya que solo hay dos ecuaciones.
Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3
\]
El sistema es compatible indeterminado para todo \(k\in\mathbb{R}\).
Es decir, tiene infinitas soluciones para cualquier valor real de \(k\).
Resolución para \(k=-1\)
Sustituimos \(k=-1\):
\[
\begin{cases}
-x-y-z=1\\
x-y-2z=-1
\end{cases}
\]
Multiplicamos la primera ecuación por \(-1\):
\[
x+y+z=-1
\]
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
x+y+z=-1\\
x-y-2z=-1
\end{cases}
\]
Restamos la segunda ecuación a la primera:
\[
(x+y+z)-(x-y-2z)=-1-(-1)
\]
\[
2y+3z=0
\]
Tomamos:
\[
z=2t
\qquad t\in\mathbb{R}
\]
Entonces:
\[
2y+3(2t)=0
\]
\[
2y+6t=0
\]
\[
y=-3t
\]
Sustituimos en:
\[
x+y+z=-1
\]
\[
x-3t+2t=-1
\]
\[
x=t-1
\]
Por tanto, para \(k=-1\), las soluciones son:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=t-1\\
y=-3t\\
z=2t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}
}
\]
b) Invertibilidad de \(A\) y expresión de \(A^{-1}\)
Sabemos que:
\[
A^2=I+3A
\]
Restamos \(3A\) a ambos lados:
\[
A^2-3A=I
\]
Sacamos factor común \(A\):
\[
A(A-3I)=I
\]
También se cumple:
\[
(A-3I)A=A^2-3A=I
\]
Por tanto, \(A\) tiene inversa y dicha inversa es:
\[
A^{-1}=A-3I
\]
Como \(A\) es invertible, su determinante no puede ser cero:
\[
\det(A)\neq0
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\det(A)\neq0}
\]
y
\[
\boxed{A^{-1}=A-3I}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas puede tener infinitas soluciones si es compatible.
- Para discutir sistemas, comparar rangos es más seguro que intentar resolver directamente.
- Si un menor de orden 2 no se anula nunca, el rango es al menos 2.
- Una matriz cuadrada es invertible si existe otra matriz que multiplicada por ella da la identidad.
- De \(A(A-3I)=I\) se deduce directamente que \(A^{-1}=A-3I\).