1B – Ecuación matricial
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se consideran las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
-1&-1
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
N=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&1
\end{pmatrix}
\]
y
\[
C=
\begin{pmatrix}
2&-2\\
-2&2\\
4&4
\end{pmatrix}.
\]
- Calcular la matriz \(M=A^tA-BB^t\). (1 punto)
- Hallar la matriz \(X\) que cumple la igualdad \(XN=C\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El ejercicio trabaja con operaciones matriciales básicas:
- Transpuesta de una matriz.
- Producto de matrices.
- Ecuación matricial.
- Matriz inversa.
En el apartado a), debemos calcular:
\[
M=A^tA-BB^t
\]
En el apartado b), la incógnita es una matriz \(X\) que aparece multiplicando a \(N\) por la derecha:
\[
XN=C
\]
Como \(N\) es una matriz cuadrada invertible, podremos despejar multiplicando por \(N^{-1}\) a la derecha.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto de matrices.
- Matriz transpuesta.
- Matriz inversa.
- Ecuaciones matriciales.
En una ecuación matricial es fundamental respetar el orden de los productos. Si \(XN=C\), entonces se despeja como \(X=CN^{-1}\), no como \(N^{-1}C\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos por separado:
\[
A^tA
\qquad \text{y} \qquad
BB^t
\]
Después restamos ambas matrices.
Para el apartado b), partimos de:
\[
XN=C
\]
Multiplicamos por \(N^{-1}\) a la derecha:
\[
X=CN^{-1}
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de \(M=A^tA-BB^t\)
Tenemos:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
-1&-1
\end{pmatrix}
\]
Su transpuesta es:
\[
A^t=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\]
Calculamos:
\[
A^tA=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
-1&-1
\end{pmatrix}
\]
\[
A^tA=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&2
\end{pmatrix}
\]
Ahora:
\[
B=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
B^t=
\begin{pmatrix}
0&1
\end{pmatrix}
\]
Por tanto:
\[
BB^t=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\]
Luego:
\[
M=A^tA-BB^t
\]
\[
M=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\]
\[
M=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&1
\end{pmatrix}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
M=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&1
\end{pmatrix}
}
\]
b) Cálculo de la matriz \(X\)
Queremos resolver:
\[
XN=C
\]
Como \(N\) multiplica a \(X\) por la derecha, despejamos multiplicando por \(N^{-1}\) a la derecha:
\[
X=CN^{-1}
\]
Calculamos la inversa de:
\[
N=
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&1
\end{pmatrix}
\]
Su determinante es:
\[
|N|=2\cdot1-2\cdot2=2-4=-2
\]
Como \(|N|\neq0\), \(N\) es invertible.
\[
N^{-1}
=
\frac{1}{-2}
\begin{pmatrix}
1&-2\\
-2&2
\end{pmatrix}
\]
\[
N^{-1}
=
\begin{pmatrix}
-\frac12&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\]
Por tanto:
\[
X=
\begin{pmatrix}
2&-2\\
-2&2\\
4&4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\frac12&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\]
Multiplicamos:
\[
X=
\begin{pmatrix}
-3&4\\
3&-4\\
2&0
\end{pmatrix}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
X=
\begin{pmatrix}
-3&4\\
3&-4\\
2&0
\end{pmatrix}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La transpuesta cambia filas por columnas.
- El producto \(BB^t\) no es lo mismo que \(B^tB\).
- Para despejar \(XN=C\), hay que multiplicar por \(N^{-1}\) a la derecha.
- Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es distinto de cero.
- En las ecuaciones matriciales el orden de multiplicación es esencial.