1A – Discusión de sistema
Castilla y León · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
mx+2y+z=1\\
2x+my+z=m\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\qquad m\in\mathbb{R}
\]
- Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro \(m\), indicando el número de soluciones en cada caso. (1,5 puntos)
- Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para \(m=3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
\[
x,\ y,\ z
\]
y un parámetro real:
\[
m
\]
El objetivo del apartado a) es clasificar el sistema según el número de soluciones:
- Solución única.
- Infinitas soluciones.
- Ninguna solución.
Para ello estudiaremos el determinante de la matriz de coeficientes.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.
- Matriz de coeficientes.
- Determinante.
- Rango de una matriz.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema tiene solución única. Si se anula, hay que estudiar esos valores por separado mediante rangos.
🟢 Estrategia de resolución
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
m&2&1\\
2&m&1\\
5&2&1
\end{pmatrix}
\]
Calcularemos:
\[
|A|
\]
Los valores de \(m\) que anulen el determinante serán los casos especiales.
Después resolveremos el sistema para \(m=3\), sustituyendo directamente el parámetro.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema según \(m\)
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
m&2&1\\
2&m&1\\
5&2&1
\end{pmatrix}
\]
Calculamos su determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
m&2&1\\
2&m&1\\
5&2&1
\end{vmatrix}
\]
Al desarrollar:
\[
|A|=(m-5)(m-2)
\]
Por tanto:
\[
|A|=0
\Longleftrightarrow
m=2 \quad \text{o} \quad m=5
\]
Si:
\[
m\neq2,5
\]
entonces \(|A|\neq0\), y el sistema es compatible determinado.
Es decir, para \(m\neq2,5\), el sistema tiene una única solución.
Caso \(m=2\)
Sustituimos \(m=2\):
\[
\begin{cases}
2x+2y+z=1\\
2x+2y+z=2\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
Las dos primeras ecuaciones tienen el mismo primer miembro, pero distinto término independiente:
\[
2x+2y+z=1
\]
\[
2x+2y+z=2
\]
Esto es una contradicción.
Por tanto, para:
\[
m=2
\]
el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.
Caso \(m=5\)
Sustituimos \(m=5\):
\[
\begin{cases}
5x+2y+z=1\\
2x+5y+z=5\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
La primera y la tercera ecuación son iguales.
Quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas:
\[
\begin{cases}
5x+2y+z=1\\
2x+5y+z=5
\end{cases}
\]
Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3
\]
El sistema es compatible indeterminado.
Es decir, para \(m=5\), el sistema tiene infinitas soluciones.
Conclusión de la discusión:
- Si \(m\neq2,5\), el sistema tiene una única solución: SCD.
- Si \(m=2\), el sistema no tiene solución: SI.
- Si \(m=5\), el sistema tiene infinitas soluciones: SCI.
b) Resolución para \(m=3\)
Sustituimos \(m=3\):
\[
\begin{cases}
3x+2y+z=1\\
2x+3y+z=3\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
Restamos la primera ecuación a la tercera:
\[
(5x+2y+z)-(3x+2y+z)=1-1
\]
\[
2x=0
\]
\[
x=0
\]
Sustituimos \(x=0\) en las dos primeras ecuaciones:
\[
2y+z=1
\]
\[
3y+z=3
\]
Restamos:
\[
(3y+z)-(2y+z)=3-1
\]
\[
y=2
\]
Sustituimos en:
\[
2y+z=1
\]
\[
2\cdot2+z=1
\]
\[
4+z=1
\]
\[
z=-3
\]
Respuesta:
\[
\boxed{x=0,\qquad y=2,\qquad z=-3}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los valores que anulan el determinante de la matriz de coeficientes deben estudiarse por separado.
- Si el determinante es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
- Dos ecuaciones con el mismo primer miembro y distinto término independiente generan contradicción.
- Si quedan menos ecuaciones independientes que incógnitas, puede aparecer un sistema compatible indeterminado.
- Para resolver un caso concreto, conviene sustituir el parámetro antes de operar.