1B – Operaciones con matrices
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Problema 1B. Propuesto en Galicia, Modelo 0 de 2025.
-
Calcular \(A\) si
\[
(AB)^T=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\qquad \text{y} \qquad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
(1 punto) -
Si
\[
M=
\begin{pmatrix}
3 & x\\
y & z
\end{pmatrix}
\]
es invertible, obtener los valores de \(x\), \(y\), \(z\), sabiendo que
\[
(3z)M^{-1}+I=
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
-1 & 4
\end{pmatrix}.
\]
Entiéndase que \(I\) es la matriz identidad. (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El ejercicio trabaja con matrices cuadradas de orden 2.
En el apartado a), no conocemos \(A\), pero sí conocemos \((AB)^T\) y \(B\). La clave está en recordar que:
\[
(AB)^T=B^T A^T
\]
Aunque en este caso será más cómodo transponer primero:
\[
AB=\left((AB)^T\right)^T
\]
En el apartado b), aparece la matriz inversa \(M^{-1}\). Como \(M\) es invertible, podemos despejar \(M^{-1}\) y después obtener \(M\).
El valor \(z\) aparece tanto dentro de la matriz \(M\) como multiplicando a \(M^{-1}\), por lo que habrá que comparar las matrices obtenidas al final.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra matricial.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Transpuesta de un producto de matrices.
- Matriz inversa.
- Despeje matricial.
- Producto de matrices.
- Igualdad de matrices.
La igualdad de matrices permite igualar elemento a elemento para obtener los valores desconocidos.
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), partimos de:
\[
(AB)^T=C
\]
donde:
\[
C=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Entonces:
\[
AB=C^T
\]
y, multiplicando por \(B^{-1}\) a la derecha:
\[
A=C^T B^{-1}
\]
En el apartado b), despejamos:
\[
(3z)M^{-1}+I=
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
-1 & 4
\end{pmatrix}
\]
Restamos la identidad:
\[
(3z)M^{-1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\]
A partir de ahí obtenemos \(M\) y comparamos con la matriz dada inicialmente.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de la matriz \(A\)
Sabemos que:
\[
(AB)^T=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Transponemos ambos lados:
\[
AB=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Como:
\[
B=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\]
calculamos su inversa. Su determinante es:
\[
|B|=1\cdot 1-1\cdot(-1)=2
\]
Por tanto:
\[
B^{-1}=\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
De \(AB=C^T\), despejamos:
\[
A=C^T B^{-1}
\]
Sustituimos:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Multiplicamos:
\[
A=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1\cdot1+2\cdot1 & 1\cdot(-1)+2\cdot1\\
0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot(-1)+1\cdot1
\end{pmatrix}
\]
\[
A=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
3 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
A=
\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
}
\]
b) Cálculo de \(x\), \(y\), \(z\)
Partimos de:
\[
(3z)M^{-1}+I=
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
-1 & 4
\end{pmatrix}
\]
Restamos la matriz identidad:
\[
(3z)M^{-1}=
\begin{pmatrix}
2 & 0\\
-1 & 4
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
\[
(3z)M^{-1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\]
Llamamos:
\[
E=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\]
Entonces:
\[
3zM^{-1}=E
\]
Tomando inversas en ambos lados:
\[
M=(3z)E^{-1}
\]
Calculamos \(E^{-1}\). Su determinante es:
\[
|E|=1\cdot3-0\cdot(-1)=3
\]
Por tanto:
\[
E^{-1}
=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Así:
\[
M=
3z\cdot
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
\[
M=
z
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
\[
M=
\begin{pmatrix}
3z & 0\\
z & z
\end{pmatrix}
\]
Pero también sabemos que:
\[
M=
\begin{pmatrix}
3 & x\\
y & z
\end{pmatrix}
\]
Igualamos ambas matrices:
\[
\begin{pmatrix}
3 & x\\
y & z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3z & 0\\
z & z
\end{pmatrix}
\]
De la primera entrada:
\[
3=3z
\]
\[
z=1
\]
De la segunda entrada de la primera fila:
\[
x=0
\]
De la primera entrada de la segunda fila:
\[
y=z=1
\]
Por tanto:
\[
x=0,\qquad y=1,\qquad z=1
\]
Además, con estos valores:
\[
M=
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
y su determinante es:
\[
|M|=3\cdot1-0\cdot1=3\neq0
\]
Por tanto, \(M\) es invertible, como exige el enunciado.
Respuesta:
\[
\boxed{x=0,\qquad y=1,\qquad z=1}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Para despejar una matriz en una igualdad matricial, hay que respetar el orden de los productos.
- Si \(AB=C\), entonces \(A=CB^{-1}\), multiplicando por la inversa de \(B\) a la derecha.
- La transpuesta de una matriz cambia filas por columnas.
- Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero.
- Al igualar dos matrices, se igualan sus entradas una a una.