2B – Función xLn(x)
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Considera la función
\[
f(x)=x\ln(x), \qquad x>0.
\]
Se pide:
- Calcular la derivada de \(f(x)\). (0,75 puntos)
- Calcular una primitiva de \(f(x)\). (0,75 puntos)
- Calcular el área del recinto limitado por \(f(x)\), el eje \(OX\) (abscisas) y las dos rectas \(x=1\) y \(x=2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Trabajamos con la función:
\[
f(x)=x\ln(x)
\]
El problema tiene tres partes relacionadas entre sí:
- Calcular la derivada de un producto.
- Calcular una primitiva mediante integración por partes.
- Utilizar una integral definida para calcular un área.
La condición \(x>0\) es importante porque el logaritmo neperiano \(\ln(x)\) solo está definido, en el campo real, para valores positivos de \(x\).
En el último apartado, antes de calcular la integral, debemos comprobar el signo de la función entre \(x=1\) y \(x=2\).
Como \(\ln(x)\geq 0\) para \(x\geq1\), la función está situada sobre el eje \(OX\) en el intervalo \([1,2]\). Por tanto, el área coincidirá directamente con la integral definida.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Derivada de un producto de funciones.
- Derivada del logaritmo neperiano.
- Integración por partes.
- Integral definida.
- Regla de Barrow.
- Cálculo de áreas mediante integrales.
Para derivar utilizaremos:
\[
(u\cdot v)'=u'v+uv'
\]
Para calcular la primitiva necesitaremos la fórmula de integración por partes:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Finalmente, el área comprendida entre una función positiva y el eje \(OX\), entre \(x=a\) y \(x=b\), se calcula mediante \(\int_a^b f(x)\,dx\).
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), observamos que:
\[
f(x)=x\cdot\ln(x)
\]
Es un producto de dos funciones, por lo que aplicaremos la regla del producto.
En el apartado b), para calcular:
\[
\int x\ln(x)\,dx
\]
utilizaremos integración por partes. Elegiremos:
\[
u=\ln(x)
\qquad\text{y}\qquad
dv=x\,dx
\]
De esta forma:
\[
du=\frac{1}{x}\,dx
\qquad\text{y}\qquad
v=\frac{x^2}{2}
\]
En el apartado c), comprobaremos primero que \(f(x)\geq0\) en \([1,2]\). Después calcularemos:
\[
A=\int_1^2 x\ln(x)\,dx
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de la derivada
La función es:
\[
f(x)=x\ln(x)
\]
Aplicamos la regla de la derivada de un producto:
\[
(u\cdot v)'=u'v+uv'
\]
Tomamos:
\[
u=x
\qquad\text{y}\qquad
v=\ln(x)
\]
Sus derivadas son:
\[
u'=1
\qquad\text{y}\qquad
v'=\frac{1}{x}
\]
Por tanto:
\[
f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}
\]
Simplificando:
\[
f'(x)=\ln(x)+1
\]
Respuesta:
\[
\boxed{f'(x)=\ln(x)+1}
\]
b) Cálculo de una primitiva
Queremos calcular:
\[
\int x\ln(x)\,dx
\]
Aplicamos integración por partes:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Elegimos:
\[
u=\ln(x)
\qquad\Longrightarrow\qquad
du=\frac{1}{x}\,dx
\]
y:
\[
dv=x\,dx
\qquad\Longrightarrow\qquad
v=\frac{x^2}{2}
\]
Sustituimos en la fórmula:
\[
\int x\ln(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\ln(x)
-
\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
\]
Simplificamos:
\[
=
\frac{x^2}{2}\ln(x)
-
\frac12\int x\,dx
\]
Calculamos la integral restante:
\[
=
\frac{x^2}{2}\ln(x)
-
\frac12\cdot\frac{x^2}{2}
+C
\]
Por tanto:
\[
\boxed{
F(x)=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+C
}
\]
c) Área del recinto limitado por la función, el eje \(OX\), \(x=1\) y \(x=2\)
Queremos calcular el área comprendida entre:
- La función \(f(x)=x\ln(x)\).
- El eje \(OX\).
- La recta \(x=1\).
- La recta \(x=2\).
Antes de integrar, estudiamos el signo de la función en \([1,2]\).
Como:
\[
x>0
\]
y:
\[
\ln(x)\geq0
\qquad \text{para } x\in[1,2]
\]
se cumple:
\[
f(x)=x\ln(x)\geq0
\]
Por tanto, la función está situada sobre el eje \(OX\) y el área se calcula directamente mediante:
\[
A=\int_1^2 x\ln(x)\,dx
\]
Utilizamos la primitiva obtenida en el apartado anterior:
\[
A=
\left[
\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}
\right]_1^2
\]
Evaluamos en \(x=2\):
\[
F(2)
=
\frac{2^2}{2}\ln(2)-\frac{2^2}{4}
\]
\[
F(2)=2\ln(2)-1
\]
Evaluamos en \(x=1\):
\[
F(1)
=
\frac{1}{2}\ln(1)-\frac14
\]
Como \(\ln(1)=0\):
\[
F(1)=-\frac14
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
A=F(2)-F(1)
\]
\[
A=
\left(2\ln(2)-1\right)
-
\left(-\frac14\right)
\]
\[
A=2\ln(2)-\frac34
\]
Aproximadamente:
\[
A\approx0.636
\]
Respuesta: el área del recinto es
\[
\boxed{A=2\ln(2)-\frac34\approx0.636}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La derivada de un producto se calcula mediante \((uv)'=u'v+uv'\).
- Los productos de una función algebraica y un logaritmo suelen integrarse mediante integración por partes.
- Antes de calcular un área con una integral hay que estudiar el signo de la función.
- Si la función es positiva en todo el intervalo, el área coincide directamente con la integral definida.
- En un problema con varios apartados conviene aprovechar los resultados anteriores: la primitiva del apartado b) permite resolver directamente el apartado c).