2A – Función a trozos y asíntotas
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{4(x+1)}{(4+x^2)^2}, & \text{si }x<0,\\[6pt]
\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}+\dfrac{x}{4}, & \text{si }x\geq 0.
\end{cases}
\]
- Estudiar las asíntotas de \(f(x)\). (1,5 puntos)
- Calcular \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función está definida mediante dos expresiones distintas:
- Si \(x<0\), debemos usar la expresión racional.
- Si \(x\geq0\), debemos usar la expresión que contiene la exponencial.
Para estudiar las asíntotas hay que analizar el comportamiento de la función cuando \(x\to-\infty\), cuando \(x\to+\infty\) y en los posibles puntos donde la función pudiera hacerse infinita.
En la integral, como el intervalo es \([0,1]\), se utiliza únicamente la segunda rama de la función.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Asíntotas verticales y horizontales.
- Asíntotas oblicuas.
- Límites en el infinito.
- Integrales por cambio de variable.
- Regla de Barrow.
Para calcular una asíntota oblicua \(y=mx+n\) utilizaremos las fórmulas:
\[
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
\[
n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)
\]
Existe una asíntota oblicua cuando \(m\) y \(n\) son números reales y \(m\neq0\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero comprobaremos el dominio para descartar asíntotas verticales.
Después estudiaremos por separado los límites cuando \(x\to-\infty\) y cuando \(x\to+\infty\), utilizando en cada caso la rama correspondiente de la función.
Para la asíntota oblicua calcularemos primero la pendiente \(m\) mediante \(\displaystyle m=\lim f(x)/x\) y, a continuación, la ordenada en el origen \(n\) mediante \(\displaystyle n=\lim(f(x)-mx)\).
En la integral hallaremos antes una primitiva mediante el cambio de variable \(u=1+e^x\). Solo después aplicaremos la regla de Barrow entre \(0\) y \(1\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Estudio de las asíntotas
1. Dominio y asíntotas verticales
En la primera rama aparece el denominador:
\[
(4+x^2)^2
\]
Como \(4+x^2>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), este denominador nunca se anula.
En la segunda rama, \(e^x>0\), por lo que:
\[
(1+e^x)^2>0
\]
Además, en el punto de unión \(x=0\), las dos ramas toman el mismo valor:
\[
\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac{4(0+1)}{(4+0^2)^2}=\frac14
\]
\[
f(0)=\frac{e^0}{(1+e^0)^2}+\frac04=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac14
\]
Por tanto, el dominio es todo \(\mathbb{R}\) y no hay asíntotas verticales.
2. Asíntota horizontal cuando \(x\to-\infty\)
Cuando \(x\to-\infty\) utilizamos la primera rama:
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
=\lim_{x\to-\infty}\frac{4(x+1)}{(4+x^2)^2}
\]
El numerador tiene grado \(1\) y el denominador tiene grado \(4\). Como el grado del denominador es mayor:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{4(x+1)}{(4+x^2)^2}=0
\]
Por tanto:
\[
\boxed{y=0}
\]
es una asíntota horizontal cuando \(x\to-\infty\).
3. Comportamiento cuando \(x\to+\infty\)
Cuando \(x\to+\infty\) utilizamos la segunda rama. Para calcular con claridad el límite de su término exponencial, dividimos numerador y denominador entre \(e^{2x}\):
\[
\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}
\]
Como \(e^{-x}\to0\), resulta:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{(1+e^x)^2}=0
\]
Sin embargo:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{4}=+\infty
\]
Así pues, \(f(x)\to+\infty\) y no existe asíntota horizontal cuando \(x\to+\infty\). Estudiamos entonces si existe una asíntota oblicua.
4. Asíntota oblicua cuando \(x\to+\infty\)
Buscamos una recta de la forma:
\[
y=mx+n
\]
Calculamos primero la pendiente con la fórmula de \(2.º\) de Bachillerato:
\[
m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
Sustituimos la expresión de la segunda rama:
\[
m=\lim_{x\to+\infty}
\frac{\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}+\dfrac{x}{4}}{x}
\]
Separamos los dos términos:
\[
m=\lim_{x\to+\infty}
\left(
\frac{e^x}{x(1+e^x)^2}+\frac14
\right)
\]
Para el primer límite volvemos a dividir entre \(e^{2x}\):
\[
\frac{e^x}{x(1+e^x)^2}
=\frac{e^{-x}}{x(1+e^{-x})^2}
\longrightarrow0
\]
Por tanto:
\[
m=0+\frac14=\frac14
\]
Calculamos ahora \(n\) con la segunda fórmula:
\[
n=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)
\]
Como \(m=\dfrac14\):
\[
\begin{aligned}
n
&=\lim_{x\to+\infty}
\left(
\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}-\frac{x}{4}
\right)\\[4pt]
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\\[4pt]
&=0.
\end{aligned}
\]
En consecuencia, la asíntota oblicua es:
\[
\boxed{y=\frac{x}{4}}
\]
cuando \(x\to+\infty\).
En resumen:
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
y=0, & x\to-\infty,\\[4pt]
y=\dfrac{x}{4}, & x\to+\infty.
\end{array}
}
\]
La función no tiene asíntotas verticales.
b) Cálculo de la integral
En el intervalo \([0,1]\) se cumple \(x\geq0\), así que usamos la segunda rama:
\[
f(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}
\]
1. Cálculo previo de la integral indefinida
Antes de aplicar la regla de Barrow, calculamos paso a paso una primitiva:
\[
\int f(x)\,dx
=\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx
+\int\frac{x}{4}\,dx
\]
En la primera integral hacemos el cambio de variable:
\[
u=1+e^x
\]
Derivamos:
\[
du=e^x\,dx
\]
Por tanto:
\[
\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx
=\int\frac{1}{u^2}\,du
=\int u^{-2}\,du
\]
Integramos:
\[
\int u^{-2}\,du
=\frac{u^{-1}}{-1}+C
=-\frac1u+C
\]
Deshacemos el cambio de variable:
\[
\int\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx
=-\frac{1}{1+e^x}+C
\]
La segunda integral es inmediata:
\[
\int\frac{x}{4}\,dx
=\frac14\int x\,dx
=\frac14\cdot\frac{x^2}{2}
=\frac{x^2}{8}
\]
Así, una primitiva de \(f\) en \([0,1]\) es:
\[
\boxed{
F(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{1}{1+e^x}
}
\]
Podemos comprobar el cambio derivando el segundo término:
\[
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{1+e^x}\right)
=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
\]
2. Aplicación de la regla de Barrow
Ahora sí, aplicamos la regla de Barrow:
\[
\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)
\]
Calculamos los dos valores:
\[
F(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1}{1+e}
=\frac18-\frac{1}{1+e}
\]
\[
F(0)=\frac{0^2}{8}-\frac{1}{1+e^0}
=-\frac12
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
\int_0^1 f(x)\,dx
&=\left(\frac18-\frac{1}{1+e}\right)-\left(-\frac12\right)\\[4pt]
&=\frac18+\frac12-\frac{1}{1+e}\\[4pt]
&=\frac58-\frac{1}{1+e}.
\end{aligned}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
\int_0^1 f(x)\,dx
=\frac58-\frac{1}{1+e}
=\frac{5e-3}{8(1+e)}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos, cada límite en el infinito se calcula con la rama correspondiente.
- La asíntota oblicua \(y=mx+n\) se obtiene con \(m=\lim f(x)/x\) y \(n=\lim(f(x)-mx)\).
- Si \(m=0\), no hay asíntota oblicua; puede existir una asíntota horizontal.
- Antes de aplicar Barrow conviene calcular y comprobar una primitiva.
- El cambio \(u=1+e^x\) funciona porque su diferencial es \(du=e^x\,dx\), que aparece en el numerador.