2A – Función a trozos y asíntotas
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{4(x+1)}{4+x^2}, & \text{si } x<0,\\[8pt]
\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}+\dfrac{x}{4}, & \text{si } x\geq 0.
\end{cases}
\]
- Estudiar las asíntotas de \(f(x)\). (1,5 puntos)
- Calcular
\[
\int_0^1 f(x)\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función está definida a trozos:
- Para \(x<0\), tenemos una función racional.
- Para \(x\geq 0\), aparece una expresión con exponenciales y un término lineal.
Para estudiar las asíntotas hay que mirar qué ocurre:
- Cuando \(x\to -\infty\), usando el primer trozo.
- Cuando \(x\to +\infty\), usando el segundo trozo.
- Si existe algún punto donde la función pueda hacerse infinita.
Para la integral \(\int_0^1 f(x)\,dx\), solo se utiliza el segundo trozo, porque todo el intervalo \([0,1]\) cumple \(x\geq0\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Asíntotas horizontales.
- Asíntotas oblicuas.
- Funciones definidas a trozos.
- Integrales definidas.
- Regla de Barrow.
La clave es no estudiar toda la función con una única expresión, sino usar el trozo correspondiente según el intervalo.
🟢 Estrategia de resolución
Para el apartado a), estudiaremos los límites:
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\qquad \text{y} \qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x)
\]
En \(+\infty\), como aparece el término \(\frac{x}{4}\), buscaremos una asíntota oblicua de la forma:
\[
y=mx+n
\]
Para el apartado b), usamos:
\[
f(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}
\qquad \text{en } [0,1].
\]
La primera parte se integra observando que es casi la derivada de \(\frac{1}{1+e^x}\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Estudio de las asíntotas
Para \(x<0\), la función es:
\[
f(x)=\frac{4(x+1)}{4+x^2}
\]
Estudiamos el límite cuando \(x\to-\infty\):
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{4(x+1)}{4+x^2}=0
\]
Por tanto, existe una asíntota horizontal por la izquierda:
\[
\boxed{y=0}
\]
Además, en este trozo no hay asíntotas verticales, ya que:
\[
4+x^2>0
\]
para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Para \(x\geq0\), la función es:
\[
f(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}
\]
Estudiamos su comportamiento cuando \(x\to+\infty\).
Como:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{(1+e^x)^2}=0
\]
tenemos que:
\[
f(x)-\frac{x}{4}
=
\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
\longrightarrow 0
\]
Por tanto, existe una asíntota oblicua por la derecha:
\[
\boxed{y=\frac{x}{4}}
\]
Conclusión: la función tiene una asíntota horizontal \(y=0\) cuando \(x\to-\infty\) y una asíntota oblicua \(y=\frac{x}{4}\) cuando \(x\to+\infty\). No tiene asíntotas verticales.
b) Cálculo de la integral definida
Queremos calcular:
\[
\int_0^1 f(x)\,dx
\]
Como en el intervalo \([0,1]\) se cumple \(x\geq0\), usamos:
\[
f(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}
\]
Por tanto:
\[
\int_0^1 f(x)\,dx
=
\int_0^1 \left(\frac{e^x}{(1+e^x)^2}+\frac{x}{4}\right)dx
\]
Separamos la integral:
\[
=
\int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx
+
\int_0^1 \frac{x}{4}dx
\]
Observamos que:
\[
\left(\frac{1}{1+e^x}\right)'
=
-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
\]
Por tanto:
\[
\int \frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx
=
-\frac{1}{1+e^x}
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}dx
=
\left[-\frac{1}{1+e^x}\right]_0^1
\]
\[
=
-\frac{1}{1+e}+\frac{1}{2}
\]
La segunda integral es:
\[
\int_0^1 \frac{x}{4}dx
=
\left[\frac{x^2}{8}\right]_0^1
=
\frac18
\]
Sumamos ambos resultados:
\[
\int_0^1 f(x)\,dx
=
\frac12-\frac{1}{1+e}+\frac18
\]
\[
=
\frac58-\frac{1}{1+e}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
\int_0^1 f(x)\,dx=
\frac58-\frac{1}{1+e}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función definida a trozos hay que estudiar cada intervalo con su expresión correspondiente.
- Las asíntotas horizontales se estudian mediante límites en el infinito.
- Si una función se parece a una recta cuando \(x\to+\infty\), puede tener una asíntota oblicua.
- Para integrar en \([0,1]\), solo se usa el trozo de la función válido para \(x\geq0\).
- La derivada de \(\frac{1}{1+e^x}\) permite integrar rápidamente \(\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\).