2B – Exponencial con máximo y área
Castilla y León · 2025 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera la función
\[
f(x)=x^2e^{-x}.
\]
- Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. (1,5 puntos)
- Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función \(f\) y el eje de abscisas en el intervalo \([0,2]\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función es:
\[
f(x)=x^2e^{-x}
\]
Está formada por el producto de:
- Una función polinómica: \(x^2\).
- Una función exponencial: \(e^{-x}\).
Como ambas funciones están definidas para todo número real, el dominio será todo \(\mathbb{R}\).
En el intervalo \([0,2]\), se cumple \(x^2\geq0\) y \(e^{-x}>0\), por lo que la función es positiva o nula. El área coincidirá directamente con la integral definida.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de una función exponencial.
- Derivada de un producto.
- Monotonía y extremos relativos.
- Asíntotas horizontales.
- Integral definida.
- Integración por partes.
La parte más importante es estudiar correctamente el signo de la derivada y calcular el área mediante una integral definida.
🟢 Estrategia de resolución
Para estudiar la función, calcularemos:
\[
f'(x)
\]
Después factorizaremos la derivada para estudiar su signo.
Para las asíntotas, analizaremos:
\[
\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}
\qquad \text{y} \qquad
\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}
\]
Para el área en \([0,2]\), calcularemos:
\[
A=\int_0^2 x^2e^{-x}\,dx
\]
🟣 Resolución paso a paso
a) Dominio, monotonía, extremos y asíntotas
La función es:
\[
f(x)=x^2e^{-x}
\]
Como \(x^2\) y \(e^{-x}\) están definidas para todo \(x\in\mathbb{R}\), el dominio es:
\[
\boxed{D(f)=\mathbb{R}}
\]
Calculamos la derivada usando la regla del producto:
\[
f'(x)=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})
\]
\[
f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}
\]
Sacamos factor común:
\[
f'(x)=xe^{-x}(2-x)
\]
Como:
\[
e^{-x}>0
\]
el signo de \(f'(x)\) depende de:
\[
x(2-x)
\]
Los puntos críticos son:
\[
x=0
\qquad \text{y} \qquad
x=2
\]
Estudiamos el signo:
- Si \(x<0\), entonces \(f'(x)<0\).
- Si \(0
- Si \(x>2\), entonces \(f'(x)<0\).
Por tanto:
\[
\boxed{\text{Decrece en }(-\infty,0)}
\]
\[
\boxed{\text{Crece en }(0,2)}
\]
\[
\boxed{\text{Decrece en }(2,+\infty)}
\]
En \(x=0\), la función pasa de decrecer a crecer. Hay un mínimo relativo:
\[
f(0)=0^2e^0=0
\]
\[
\boxed{(0,0)}
\]
En \(x=2\), la función pasa de crecer a decrecer. Hay un máximo relativo:
\[
f(2)=2^2e^{-2}=4e^{-2}
\]
\[
\boxed{(2,4e^{-2})}
\]
Estudiamos las asíntotas.
Cuando \(x\to+\infty\):
\[
\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0
\]
Por tanto, hay una asíntota horizontal:
\[
\boxed{y=0}
\]
Cuando \(x\to-\infty\):
\[
e^{-x}\to+\infty
\]
y:
\[
x^2\to+\infty
\]
Por tanto:
\[
\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=+\infty
\]
No hay asíntota horizontal cuando \(x\to-\infty\).
Como el dominio es todo \(\mathbb{R}\), no hay asíntotas verticales.
b) Área limitada por la gráfica y el eje \(OX\) en \([0,2]\)
En \([0,2]\), la función es positiva o nula, así que el área es:
\[
A=\int_0^2 x^2e^{-x}\,dx
\]
Calculamos una primitiva mediante integración por partes:
\[
\int x^2e^{-x}\,dx
\]
Utilizamos la fórmula:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Tomamos:
\[
u=x^2
\qquad\Longrightarrow\qquad
du=2x\,dx
\]
\[
dv=e^{-x}\,dx
\qquad\Longrightarrow\qquad
v=-e^{-x}
\]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[
\int x^2e^{-x}\,dx
=
-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x}\,dx
\]
Todavía queda por calcular:
\[
\int xe^{-x}\,dx
\]
Aplicamos de nuevo integración por partes.
Tomamos:
\[
u=x
\qquad\Longrightarrow\qquad
du=dx
\]
\[
dv=e^{-x}\,dx
\qquad\Longrightarrow\qquad
v=-e^{-x}
\]
Aplicamos la fórmula:
\[
\int xe^{-x}\,dx
=
-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx
\]
Como:
\[
\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}
\]
obtenemos:
\[
\int xe^{-x}\,dx
=
-xe^{-x}-e^{-x}
\]
Sustituimos este resultado en la integral inicial:
\[
\int x^2e^{-x}\,dx
=
-x^2e^{-x}
+
2\left(-xe^{-x}-e^{-x}\right)
\]
Desarrollamos:
\[
\int x^2e^{-x}\,dx
=
-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}
\]
Sacamos factor común:
\[
\boxed{
\int x^2e^{-x}\,dx
=
-\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}+C
}
\]
Aplicamos ahora la regla de Barrow:
\[
A=
\left[-\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}\right]_0^2
\]
Evaluamos en \(x=2\):
\[
-e^{-2}(2^2+2\cdot2+2)=-10e^{-2}
\]
Evaluamos en \(x=0\):
\[
-e^0(0+0+2)=-2
\]
Por tanto:
\[
A=-10e^{-2}-(-2)
\]
\[
A=2-10e^{-2}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{A=2-10e^{-2}}
\]
Aproximadamente:
\[
\boxed{A\approx0,647}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El producto de un polinomio y una exponencial suele derivarse con la regla del producto.
- Para estudiar la monotonía hay que factorizar la derivada y analizar su signo.
- El punto \(x=0\) es un mínimo relativo porque la función pasa de decrecer a crecer.
- El punto \(x=2\) es un máximo relativo porque la función pasa de crecer a decrecer.
- Para calcular el área en un intervalo donde la función es positiva, basta integrar la función.