4B – Reparto de ejercicios
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el \(45\%\), Gloria el \(30\%\) y María el resto.
Además, sabemos que Lucía resuelve correctamente el \(90\%\) de los ejercicios que realiza, Gloria el \(95\%\) y María el \(80\%\).
- Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. (0,5 puntos)
- Si la profesora escoge un ejercicio al azar, calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. (1 punto)
- Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos tres personas que se reparten los ejercicios:
- Lucía resuelve el \(45\%\).
- Gloria resuelve el \(30\%\).
- María resuelve el resto.
Como Lucía y Gloria resuelven entre ambas el \(75\%\), María resuelve:
\[
100\%-45\%-30\%=25\%
\]
Además, el enunciado nos da probabilidades condicionadas de resolver correctamente según quién haya hecho el ejercicio.
En el apartado c), la frase “sabiendo que el ejercicio es incorrecto” indica que debemos usar probabilidad condicionada, concretamente el teorema de Bayes.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Probabilidad total.
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de Bayes.
- Sucesos complementarios.
Para calcular la probabilidad de que un ejercicio esté bien resuelto, sumaremos los caminos favorables:
\[
P(C)=P(L)P(C/L)+P(G)P(C/G)+P(M)P(C/M)
\]
Para calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria sabiendo que es incorrecto, invertiremos la condición usando Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos:
- \(L\): el ejercicio lo resuelve Lucía.
- \(G\): el ejercicio lo resuelve Gloria.
- \(M\): el ejercicio lo resuelve María.
- \(C\): el ejercicio está resuelto correctamente.
- \(\overline{C}\): el ejercicio está resuelto incorrectamente.
Del enunciado obtenemos:
\[
P(L)=0.45,\qquad P(G)=0.30,\qquad P(M)=0.25
\]
\[
P(C/L)=0.90,\qquad P(C/G)=0.95,\qquad P(C/M)=0.80
\]
También necesitaremos las probabilidades complementarias:
\[
P(\overline{C}/L)=0.10,\qquad P(\overline{C}/G)=0.05,\qquad P(\overline{C}/M)=0.20
\]
Primero calcularemos \(P(C)\). Después, para el apartado c), calcularemos \(P(G/\overline{C})\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Sucesos y probabilidades del enunciado
Definimos:
- \(L\): el ejercicio lo ha resuelto Lucía.
- \(G\): el ejercicio lo ha resuelto Gloria.
- \(M\): el ejercicio lo ha resuelto María.
- \(C\): el ejercicio está resuelto correctamente.
- \(\overline{C}\): el ejercicio está resuelto incorrectamente.
Las probabilidades de reparto son:
\[
P(L)=0.45
\]
\[
P(G)=0.30
\]
\[
P(M)=1-0.45-0.30=0.25
\]
Las probabilidades condicionadas de resolver correctamente son:
\[
P(C/L)=0.90
\]
\[
P(C/G)=0.95
\]
\[
P(C/M)=0.80
\]
Y sus complementarias son:
\[
P(\overline{C}/L)=0.10
\]
\[
P(\overline{C}/G)=0.05
\]
\[
P(\overline{C}/M)=0.20
\]
b) Probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(C)=P(L)P(C/L)+P(G)P(C/G)+P(M)P(C/M)
\]
Sustituimos los datos:
\[
P(C)=0.45\cdot0.90+0.30\cdot0.95+0.25\cdot0.80
\]
Calculamos:
\[
P(C)=0.405+0.285+0.200
\]
\[
P(C)=0.890
\]
Por tanto:
\[
P(C)=0.89
\]
Respuesta: la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente es
\[
\boxed{0.89=89\%}
\]
c) Probabilidad de que lo haya resuelto Gloria sabiendo que es incorrecto
Nos piden:
\[
P(G/\overline{C})
\]
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
P(G/\overline{C})=
\frac{P(G)P(\overline{C}/G)}{P(\overline{C})}
\]
Como:
\[
P(C)=0.89
\]
entonces:
\[
P(\overline{C})=1-0.89=0.11
\]
Además:
\[
P(G)P(\overline{C}/G)=0.30\cdot0.05=0.015
\]
Por tanto:
\[
P(G/\overline{C})=\frac{0.015}{0.11}
\]
\[
P(G/\overline{C})\approx0.136
\]
Respuesta: sabiendo que el ejercicio es incorrecto, la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria es
\[
\boxed{0.136\approx13.6\%}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cuando hay varios caminos posibles, suele ser útil organizar los datos como un árbol de probabilidades.
- La probabilidad total suma todos los caminos que llevan al suceso buscado.
- Las probabilidades complementarias se obtienen restando a 1.
- La expresión “sabiendo que” indica una probabilidad condicionada.
- El teorema de Bayes permite invertir la condición: pasar de \(P(\overline{C}/G)\) a \(P(G/\overline{C})\).