4A – Software espía en móviles
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Una empresa fabrica móviles de tres marcas distintas: \(A\), \(N\) y \(M\). El 20% de los móviles son de la marca \(A\) y el 40% de la marca \(N\). Se decide instalar un software oculto que permita espiar a los usuarios de estos móviles. El software oculto se instala en el 15% de los móviles de la marca \(A\), en un 10% de la marca \(N\) y en un 12% de los móviles de la marca \(M\).
Se pide:
- Describir todas las probabilidades, condicionadas y no condicionadas, que se deducen directamente del enunciado. (0,3 puntos)
- Determinar la probabilidad de que un móvil fabricado por esta empresa tenga instalado el software espía. (1 punto)
- Si un móvil fabricado por esta empresa tiene instalado el software espía, calcular la probabilidad de que sea de la marca \(A\). (1,2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Una empresa fabrica móviles de tres marcas distintas: \(A\), \(N\) y \(M\).
El 20% de los móviles son de la marca \(A\)
y el 40% de la marca \(N\).
El software oculto se instala en el
15% de los móviles de la marca \(A\),
en un 10% de la marca \(N\)
y en un 12% de los móviles de la marca \(M\).
Dato oculto que hay que deducir:
\[
P(M)=1-P(A)-P(N)=1-0.20-0.40=0.40
\]
La última pregunta dice: si un móvil tiene instalado el software espía, calcular la probabilidad de que sea de la marca \(A\). Esa frase indica una probabilidad condicionada: \(P(A/S)\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen dos ideas principales:
- Teorema de la probabilidad total, para calcular la probabilidad de que un móvil tenga instalado el software espía.
- Teorema de Bayes, para calcular la probabilidad de que el móvil sea de la marca \(A\) sabiendo que tiene instalado el software.
Es un problema típico de árbol de probabilidades: primero se elige la marca del móvil y después se estudia si tiene o no tiene instalado el software espía.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos:
- \(A\): el móvil es de la marca \(A\).
- \(N\): el móvil es de la marca \(N\).
- \(M\): el móvil es de la marca \(M\).
- \(S\): el móvil tiene instalado el software espía.
Del enunciado obtenemos:
\[
P(A)=0.20,\qquad P(N)=0.40,\qquad P(M)=0.40
\]
\[
P(S/A)=0.15,\qquad P(S/N)=0.10,\qquad P(S/M)=0.12
\]
Para el apartado b), usamos probabilidad total:
\[
P(S)=P(A)P(S/A)+P(N)P(S/N)+P(M)P(S/M)
\]
Para el apartado c), usamos Bayes:
\[
P(A/S)=\frac{P(A)P(S/A)}{P(S)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Del enunciado sabemos directamente:
\[
P(A)=0.20
\]
\[
P(N)=0.40
\]
Como solo hay tres marcas:
\[
P(M)=1-P(A)-P(N)=1-0.20-0.40=0.40
\]
Las probabilidades condicionadas son:
\[
P(S/A)=0.15
\]
\[
P(S/N)=0.10
\]
\[
P(S/M)=0.12
\]
También pueden deducirse las probabilidades complementarias:
\[
P(\overline{S}/A)=0.85
\]
\[
P(\overline{S}/N)=0.90
\]
\[
P(\overline{S}/M)=0.88
\]
b) Probabilidad de que un móvil tenga instalado el software espía
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(S)=P(A)P(S/A)+P(N)P(S/N)+P(M)P(S/M)
\]
Sustituimos:
\[
P(S)=0.20\cdot0.15+0.40\cdot0.10+0.40\cdot0.12
\]
\[
P(S)=0.03+0.04+0.048
\]
\[
P(S)=0.118
\]
Por tanto:
\[
P(S)=0.118=11.8\%
\]
Respuesta: la probabilidad de que un móvil tenga instalado el software espía es del 11,8%.
c) Probabilidad de que sea de la marca A sabiendo que tiene instalado el software
Nos piden:
\[
P(A/S)
\]
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
P(A/S)=\frac{P(A)P(S/A)}{P(S)}
\]
Sustituimos:
\[
P(A/S)=\frac{0.20\cdot0.15}{0.118}
\]
\[
P(A/S)=\frac{0.03}{0.118}
\]
\[
P(A/S)\approx 0.2542
\]
Por tanto:
\[
P(A/S)\approx 25.42\%
\]
Respuesta: si un móvil tiene instalado el software espía, la probabilidad de que sea de la marca \(A\) es aproximadamente del 25,42%.
Qué debes aprender de este problema
- Cuando aparecen varios grupos o marcas, suele ser útil construir un árbol de probabilidades.
- Si se pide la probabilidad total de un suceso, se suman los caminos que llevan a ese suceso.
- Si el enunciado dice “sabiendo que” o “si tiene”, normalmente aparece una probabilidad condicionada.
- Bayes permite invertir la condición: pasar de \(P(S/A)\) a \(P(A/S)\).