Discusión de sistemas por Gauss
Aprende a estudiar sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss paso a paso.
Idea clave
El método de Gauss permite transformar un sistema en otro equivalente más sencillo mediante operaciones elementales hasta poder determinar si tiene solución y cuántas.
Tipos de sistemas
- Compatible determinado (SCD): tiene una única solución.
- Compatible indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones.
- Incompatible (SI): no tiene solución.
Método de Gauss
Consiste en transformar la matriz ampliada del sistema mediante operaciones elementales:
- Intercambiar filas
- Multiplicar una fila por un número distinto de cero
- Sumar a una fila otra multiplicada por un número
Ejemplo 1: sistema compatible determinado
\[
\begin{cases}
x+y+z=6\\
x-y+z=2\\
2x+y-z=5
\end{cases}
\]
Matriz ampliada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
1 & -1 & 1 & 2\\
2 & 1 & -1 & 5
\end{array}
\right)
\]
Hacemos ceros debajo del primer pivote:
\[
F_2 \leftarrow F_2-F_1,\qquad F_3 \leftarrow F_3-2F_1
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & -2 & 0 & -4\\
0 & -1 & -3 & -7
\end{array}
\right)
\]
Ahora eliminamos el \(-1\) de la tercera fila, segunda columna. Por ejemplo:
\[
F_3 \leftarrow 2F_3-F_2
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & -2 & 0 & -4\\
0 & 0 & -6 & -10
\end{array}
\right)
\]
De la última fila obtenemos:
\[
-6z=-10 \Rightarrow z=\frac{5}{3}
\]
De la segunda fila:
\[
-2y=-4 \Rightarrow y=2
\]
De la primera fila:
\[
x+2+\frac{5}{3}=6
\Rightarrow x=\frac{7}{3}
\]
Por tanto, el sistema tiene una única solución:
\[
\left(x,y,z\right)=\left(\frac{7}{3},\,2,\,\frac{5}{3}\right)
\]
Conclusión: sistema compatible determinado (SCD)
Ejemplo 2: sistema compatible indeterminado
\[
\begin{cases}
x+y+z=3\\
2x+2y+2z=6\\
x-y+z=1
\end{cases}
\]
Matriz ampliada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
2 & 2 & 2 & 6\\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\]
Hacemos:
\[
F_2 \leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3 \leftarrow F_3-F_1
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & -2
\end{array}
\right)
\]
Reordenamos filas para verlo mejor:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 3\\
0 & -2 & 0 & -2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
De la segunda fila:
\[
-2y=-2 \Rightarrow y=1
\]
De la primera fila:
\[
x+1+z=3 \Rightarrow x=2-z
\]
La variable \(z\) queda libre. Si llamamos \(z=\lambda\), entonces:
\[
x=2-\lambda,\qquad y=1,\qquad z=\lambda
\]
La solución general es:
\[
(x,y,z)=(2-\lambda,\,1,\,\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}
\]
Conclusión: sistema compatible indeterminado (SCI)
Ejemplo 3: sistema incompatible
\[
\begin{cases}
x+y+z=2\\
2x+2y+2z=4\\
x+y+z=5
\end{cases}
\]
Matriz ampliada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2\\
2 & 2 & 2 & 4\\
1 & 1 & 1 & 5
\end{array}
\right)
\]
Hacemos:
\[
F_2 \leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3 \leftarrow F_3-F_1
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3
\end{array}
\right)
\]
La última fila representa la ecuación:
\[
0x+0y+0z=3
\Rightarrow 0=3
\]
Esto es imposible, por lo que el sistema no tiene solución.
Conclusión: sistema incompatible (SI)
Cómo identificar el tipo rápidamente
- Fila tipo \(0\ 0\ 0\ |\ 1\) → incompatible
- Fila tipo \(0\ 0\ 0\ |\ 0\) → infinitas soluciones
- Sin filas nulas → solución única
Discusión de un sistema en función de un parámetro por Gauss
Discute el sistema según el valor del parámetro \(\lambda\):
\[
\begin{cases}
\lambda x + z = 1\\
x + y + \lambda z = 1\\
x - y + z = 1
\end{cases}
\]
1. Matriz ampliada del sistema
Tomamos como matriz ampliada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
\lambda & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & \lambda & 1\\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\]
Para trabajar mejor con Gauss, intercambiamos la primera y la segunda fila:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & \lambda & 1\\
\lambda & 0 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\]
2. Hacemos ceros debajo del primer pivote
Aplicamos:
\[
F_2 \leftarrow F_2-\lambda F_1
\qquad\text{y}\qquad
F_3 \leftarrow F_3-F_1
\]
Queda:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & \lambda & 1\\
0 & -\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda\\
0 & -2 & 1-\lambda & 0
\end{array}
\right)
\]
3. Anulamos el elemento de la tercera fila, segunda columna
Para no dividir por \(\lambda\), hacemos una combinación válida para cualquier valor del parámetro:
\[
F_3 \leftarrow \lambda F_3 - 2F_2
\]
Entonces:
\[
\lambda F_3=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & -2\lambda & \lambda(1-\lambda) & 0
\end{array}
\right)
\]
\[
2F_2=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & -2\lambda & 2(1-\lambda^2) & 2(1-\lambda)
\end{array}
\right)
\]
Restando:
\[
F_3=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & 0 & \lambda^2+\lambda-2 & 2(\lambda-1)
\end{array}
\right)
\]
La matriz queda:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & \lambda & 1\\
0 & -\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda\\
0 & 0 & \lambda^2+\lambda-2 & 2(\lambda-1)
\end{array}
\right)
\]
Factorizamos el término de la tercera fila:
\[
\lambda^2+\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda+2)
\]
Así, la tercera fila se puede leer como:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda+2) & 2(\lambda-1)
\end{array}
\right)
\]
4. Discusión por casos
Caso 1: \(\lambda\neq 1\) y \(\lambda\neq -2\)
En este caso:
\[
(\lambda-1)(\lambda+2)\neq 0
\]
Por tanto, aparecen tres filas no nulas en la matriz escalonada y el sistema tiene rango 3:
\[
rg(A)=rg(A^*)=3
\]
Como hay 3 incógnitas:
el sistema es compatible determinado (SCD).
Caso 2: \(\lambda=1\)
Sustituimos \(\lambda=1\) en la matriz escalonada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
Hay dos filas no nulas, así que:
\[
rg(A)=rg(A^*)=2
\]
Como:
\[
2<3
\]
el sistema es compatible indeterminado (SCI).
Caso 3: \(\lambda=-2\)
Sustituimos \(\lambda=-2\) en la matriz escalonada:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 1\\
0 & 2 & -3 & 3\\
0 & 0 & 0 & -6
\end{array}
\right)
\]
La última fila representa:
\[
0x+0y+0z=-6
\]
Es decir:
\[
0=-6
\]
Esto es imposible, por lo que:
\[
rg(A)=2,\qquad rg(A^*)=3
\]
y, en consecuencia,
el sistema es incompatible (SI).
5. Conclusión final
- Si \(\lambda\neq 1\) y \(\lambda\neq -2\) → SCD
- Si \(\lambda=1\) → SCI
- Si \(\lambda=-2\) → SI
Relación con el rango
El método de Gauss permite ver directamente el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada, lo que conecta con el teorema de Rouché-Frobenius.
Resumen final
- Gauss transforma el sistema en uno equivalente más sencillo
- Permite clasificar el sistema rápidamente
- Es el método más utilizado en PAU