Matemáticas II · Álgebra · Tema 01

Qué es una matriz y tipos de matrices

Primer paso del bloque de Álgebra: comprender cómo se organizan los elementos de una matriz, cómo se expresa su orden y cuáles son los tipos fundamentales.

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Organizar información mediante filas y columnas

Las matrices permiten representar datos y relaciones de forma compacta. En Matemáticas II se utilizarán después para operar, calcular determinantes, estudiar rangos y resolver sistemas de ecuaciones.

1Interpretar el orden \(m\times n\)

2Localizar cualquier elemento \(a_{ij}\)

3Clasificar los tipos principales

Idea básica

Definición de matriz

Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Se representa habitualmente mediante una letra mayúscula.

\[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

Orden de una matriz

Si una matriz tiene \(m\) filas y \(n\) columnas, su orden es \(m\times n\). Siempre se escribe primero el número de filas.

\[ A\in M_{m\times n} \]

Elemento \(a_{ij}\)

El primer subíndice indica la fila y el segundo indica la columna.

\[ a_{ij} = \text{elemento de la fila }i \text{ y columna }j \]

Lectura de una matriz

Ejemplo de orden y elementos

Ejemplo 1

Analiza la matriz

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4\\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]

Tiene \(2\) filas y \(3\) columnas, por lo que su orden es:

\[ \boxed{2\times3} \]

Sus elementos son:

\[ a_{11}=2,\quad a_{12}=-1,\quad a_{13}=4,\quad a_{21}=0,\quad a_{22}=3,\quad a_{23}=5 \]

! No confundas \(a_{12}\) con \(a_{21}\). El primero está en la primera fila y segunda columna; el segundo, en la segunda fila y primera columna.

Comparación elemento a elemento

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y coinciden todos sus elementos correspondientes.

\[ A=(a_{ij}),\quad B=(b_{ij}) \qquad\Longrightarrow\qquad A=B \iff a_{ij}=b_{ij}\ \text{para todo }i,j \]

Ejemplo 2 · Igualdad matricial

Determina \(x\) e \(y\)

\[ \begin{pmatrix} x+1 & 2\\ 3 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]

Comparamos las posiciones correspondientes:

\[ x+1=4 \Longrightarrow \boxed{x=3} \]

\[ \boxed{y=-1} \]

Clasificación

Tipos de matrices

Una misma matriz puede pertenecer simultáneamente a varias categorías. Por ejemplo, una matriz identidad es cuadrada, diagonal y escalar.

1. Matriz fila

Tiene una única fila.

\[ \begin{pmatrix}2&-1&5\end{pmatrix} \]

2. Matriz columna

Tiene una única columna.

\[ \begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix} \]

3. Matriz rectangular

Tiene distinto número de filas y columnas.

\[ \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \]

4. Matriz cuadrada

Tiene el mismo número de filas y columnas.

\[ \begin{pmatrix}1&0\\-3&2\end{pmatrix} \]

5. Matriz nula

Todos sus elementos son cero.

\[ O= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \]

6. Matriz diagonal

Es cuadrada y fuera de la diagonal principal solo hay ceros.

\[ \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \]

7. Matriz identidad

Es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son uno.

\[ I_3= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]

8. Triangular superior

Los elementos situados debajo de la diagonal principal son cero.

\[ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&4\\ 0&0&5 \end{pmatrix} \]

9. Triangular inferior

Los elementos situados encima de la diagonal principal son cero.

\[ \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&-3&0\\ 4&5&1 \end{pmatrix} \]

Elementos importantes

Diagonal principal y diagonales secundarias

Diagonal principal

Está formada por los elementos \(a_{ii}\).

\[ a_{11},a_{22},a_{33},\ldots \]

Por encima y por debajo

La posición de los ceros respecto de la diagonal permite reconocer las matrices triangulares superiores e inferiores.

Aplicación

Una matriz como tabla de información

Ejemplo 3 · Datos organizados

Resultados de dos grupos en tres pruebas

Las filas representan grupos y las columnas representan pruebas:

\[ R= \begin{pmatrix} 7 & 8 & 6\\ 9 & 5 & 8 \end{pmatrix} \]

La matriz tiene orden \(2\times3\). El elemento \(r_{23}=8\) representa el resultado del segundo grupo en la tercera prueba.

i En los problemas contextualizados es imprescindible explicar qué representan las filas, las columnas y cada unidad.

Ejemplos resueltos

Clasificación y lectura

Ejemplo 4 · Orden

\[ A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ 4&5&3 \end{pmatrix} \]

Tiene dos filas y tres columnas: \(\boxed{2\times3}\).

Ejemplo 5 · Clasificación

\[ B= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]

Es cuadrada, diagonal, escalar e identidad.

Ejemplo 6 · Igualdad

\[ \begin{pmatrix}x&2\\3&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&2\\3&-4\end{pmatrix} \]

Se obtiene \(\boxed{x=5,\ y=-4}\).

Qué debes recordar

Fila primero, columna después

El orden y los subíndices siguen siempre la misma lógica. Dominar esta lectura es imprescindible antes de comenzar las operaciones con matrices.

OrdenFilas por columnas: \(m\times n\).

Elemento\(a_{ij}\): fila \(i\), columna \(j\).

IgualdadMismo orden y elementos correspondientes iguales.

ClasificaciónUna matriz puede pertenecer a varios tipos.

Errores frecuentes

Invertir el orden Una matriz de 2 filas y 3 columnas es \(2\times3\), no \(3\times2\).

Confundir los subíndices En \(a_{ij}\), \(i\) indica la fila y \(j\) indica la columna.

Asignar un único tipo Una matriz identidad también es cuadrada, diagonal y escalar.

Resumen del tema

Una matriz es una tabla rectangular de números. Su orden se expresa como filas por columnas y cada elemento se identifica mediante dos subíndices. Las matrices pueden clasificarse según su forma y la disposición de sus elementos.

Debes saber

Indicar el orden de una matriz.
Localizar cualquier elemento.
Comparar matrices.
Reconocer matrices cuadradas y rectangulares.
Clasificar diagonales, identidad y triangulares.