Vectores en el espacio
Aprende a trabajar con vectores en \(\mathbb{R}^3\): coordenadas, operaciones, módulo, producto escalar y producto vectorial.
Este tema es la base de todo el bloque de Geometría del espacio. Si entiendes bien los vectores, después rectas, planos, ángulos y distancias resultan mucho más naturales.
Idea básica
Un vector en el espacio es un objeto matemático que tiene dirección, sentido y módulo. En Matemáticas II trabajamos normalmente con vectores expresados mediante tres coordenadas, una por cada eje del espacio.
Qué es un vector en el espacio
Un vector del espacio se representa mediante una terna de números reales:
\[ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) \]
Estas coordenadas indican el desplazamiento en las direcciones de los ejes \(x\), \(y\) y \(z\).
Por ejemplo:
\[ \vec{u}=(2,-1,3) \]
significa que avanzamos 2 unidades en el eje \(x\), retrocedemos 1 unidad en el eje \(y\) y subimos 3 unidades en el eje \(z\).
Vector determinado por dos puntos
Si tenemos dos puntos del espacio:
\[ A(x_1,y_1,z_1), \qquad B(x_2,y_2,z_2) \]
el vector \(\overrightarrow{AB}\) se calcula restando coordenadas:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1) \]
Ejemplo:
\[ A(1,2,-1), \qquad B(4,0,3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;0-2,\;3-(-1))=(3,-2,4) \]
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Qué debes recordar
Operaciones con vectores
Si tenemos dos vectores:
\[ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) \]
entonces:
Suma de vectores
\[ \vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3) \]
Resta de vectores
\[ \vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;u_3-v_3) \]
Producto de un vector por un número
\[ \lambda \vec{u}=(\lambda u_1,\;\lambda u_2,\;\lambda u_3) \]
Ejemplo:
\[ \vec{u}=(1,-2,3), \qquad \vec{v}=(4,0,-1) \]
\[ \vec{u}+\vec{v}=(5,-2,2) \]
\[ 2\vec{u}=(2,-4,6) \]
Módulo de un vector
El módulo de un vector representa su longitud.
\[ |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} \]
Ejemplo:
\[ \vec{u}=(2,-1,2) \]
\[ |\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3 \]
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores se define como:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \]
Sirve, entre otras cosas, para calcular ángulos y estudiar perpendicularidad.
Dos vectores son perpendiculares si:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Ejemplo:
\[ \vec{u}=(1,2,-1), \qquad \vec{v}=(2,0,2) \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot0+(-1)\cdot2=2+0-2=0 \]
Por tanto, \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son perpendiculares.
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores del espacio da como resultado otro vector perpendicular a ambos.
\[ \vec{u}\times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \]
Desarrollando el determinante:
\[ \vec{u}\times\vec{v}= (u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1) \]
Ejemplo:
\[ \vec{u}=(1,0,2), \qquad \vec{v}=(3,-1,1) \]
\[ \vec{u}\times\vec{v}= (0\cdot1-2\cdot(-1),\;2\cdot3-1\cdot1,\;1\cdot(-1)-0\cdot3) \]
\[ \vec{u}\times\vec{v}=(2,5,-1) \]
Este vector es perpendicular a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\).
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Interpretación del producto escalar
Si el producto escalar vale 0, los vectores son perpendiculares. Esto será muy útil en el estudio de rectas y planos.
Interpretación del producto vectorial
El producto vectorial genera un vector perpendicular a los dos iniciales. Por eso es fundamental para obtener vectores normales a planos.
Ejemplo global
Dados los puntos:
\[ A(1,0,-2), \qquad B(3,2,1), \qquad C(2,-1,4) \]
Calculamos primero los vectores:
\[ \overrightarrow{AB}=(3-1,\;2-0,\;1-(-2))=(2,2,3) \]
\[ \overrightarrow{AC}=(2-1,\;-1-0,\;4-(-2))=(1,-1,6) \]
Producto escalar:
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot1+2\cdot(-1)+3\cdot6=2-2+18=18 \]
Producto vectorial:
\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= (2\cdot6-3\cdot(-1),\;3\cdot1-2\cdot6,\;2\cdot(-1)-2\cdot1) \]
\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(15,-9,-4) \]
Este último vector será muy útil, por ejemplo, para obtener la ecuación del plano que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\).
Cómo estudiar este tema
Mi recomendación es dominar primero el cálculo de vectores entre dos puntos y las operaciones básicas. Después trabaja el módulo, el producto escalar y el producto vectorial. No te limites a hacer cuentas: intenta entender qué significa geométricamente cada resultado.
Resumen final
- Un vector en el espacio se expresa mediante tres coordenadas.
- El vector entre dos puntos se obtiene restando extremo menos origen.
- Las operaciones básicas con vectores se hacen coordenada a coordenada.
- El módulo mide la longitud del vector.
- El producto escalar sirve para estudiar perpendicularidad y ángulos.
- El producto vectorial proporciona un vector perpendicular a otros dos y será clave en los planos.