Matemáticas II · Geometría · Tema 01

Vectores en el espacio

Aprende a trabajar con vectores en \(\mathbb R^3\): coordenadas, operaciones, módulo, producto escalar, producto vectorial y producto mixto.

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La herramienta fundamental de toda la geometría del espacio

Si se comprenden bien los vectores, las ecuaciones de rectas y planos, las posiciones relativas, los ángulos y las distancias resultan mucho más naturales. Cada operación vectorial tiene una interpretación geométrica.

1Calcular vectores entre puntos

2Interpretar los productos vectoriales

3Aplicar perpendicularidad y coplanaridad

Idea básica

Qué es un vector en el espacio

Un vector tiene dirección, sentido y módulo. En el espacio se expresa mediante una terna de números reales:

\[ \boxed{\vec u=(u_1,u_2,u_3)} \]

Las coordenadas representan el desplazamiento según los ejes \(x\), \(y\) y \(z\). Por ejemplo:

\[ \vec u=(2,-1,3) \]

indica un desplazamiento de \(2\) unidades en \(x\), \(-1\) en \(y\) y \(3\) en \(z\).

Extremo menos origen

Vector determinado por dos puntos

\[ \boxed{ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)} \]

Ejemplo 1 · Vector entre puntos

\[ A(1,2,-1), \qquad B(4,0,3) \]

\[ \overrightarrow{AB} = (4-1,\ 0-2,\ 3-(-1)) = \boxed{(3,-2,4)} \]

! El orden importa: \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).

Coordenada a coordenada

Operaciones con vectores

Suma

\[ \vec u+\vec v = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) \]

Resta

\[ \vec u-\vec v = (u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3) \]

Producto por un escalar

\[ \lambda\vec u = (\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3) \]

Ejemplo 2 · Operaciones

\[ \vec u=(1,-2,3), \qquad \vec v=(4,0,-1) \]

\[ \vec u+\vec v=(5,-2,2) \]

\[ 2\vec u=(2,-4,6) \]

Longitud

Módulo y vector unitario

\[ \boxed{ \|\vec u\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} \]

Ejemplo 3 · Módulo

\[ \vec u=(2,-1,2) \]

\[ \|\vec u\| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt9 = \boxed3 \]

Si \(\vec u\neq\vec0\), su vector unitario asociado es:

\[ \boxed{ \widehat u=\frac{\vec u}{\|\vec u\|}} \]

Resultado numérico

Producto escalar

\[ \boxed{ \vec u\cdot\vec v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3} \]

También puede expresarse mediante el ángulo \(\alpha\) entre los vectores:

\[ \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\alpha \]

Ejemplo 4 · Perpendicularidad

\[ \vec u=(1,2,-1), \qquad \vec v=(2,0,2) \]

\[ \vec u\cdot\vec v = 1\cdot2+2\cdot0+(-1)\cdot2 = 0 \]

Como ambos vectores son no nulos:

\[ \boxed{\vec u\perp\vec v} \]

i La condición \(\vec u\cdot\vec v=0\) expresa perpendicularidad geométrica cuando los dos vectores son no nulos.

Resultado vectorial

Producto vectorial

\[ \vec u\times\vec v = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix} \]

\[ \boxed{ \vec u\times\vec v = (u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)} \]

Ejemplo 5 · Producto vectorial

\[ \vec u=(1,0,2), \qquad \vec v=(3,-1,1) \]

\[ \vec u\times\vec v = (2,5,-1) \]

\[ (\vec u\times\vec v)\cdot\vec u=0, \qquad (\vec u\times\vec v)\cdot\vec v=0 \]

Dirección perpendicular

Si \(\vec u\) y \(\vec v\) no son paralelos, el producto es no nulo y perpendicular a ambos.

Área

\[ A_{\text{paralelogramo}} = \|\vec u\times\vec v\| \]

Vectores paralelos

\[ \vec u\parallel\vec v \iff \vec u\times\vec v=\vec0 \]

Tres vectores

Producto mixto y coplanaridad

\[ \boxed{ [\vec u,\vec v,\vec w] = \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)} \]

\[ [\vec u,\vec v,\vec w] = \begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} \]

Coplanaridad

\[ \boxed{ [\vec u,\vec v,\vec w]=0 \iff \text{son coplanarios}} \]

Volumen

\[ V= \left| [\vec u,\vec v,\vec w] \right| \]

Es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.

Ejemplo 6 · Coplanaridad

\[ \vec u=(1,0,0), \quad \vec v=(0,1,0), \quad \vec w=(2,3,0) \]

\[ [\vec u,\vec v,\vec w] = \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 2&3&0 \end{vmatrix} = 0 \]

Los tres vectores son coplanarios.

Ejemplo global conservado

Vectores determinados por tres puntos

Ejemplo 7

\[ A(1,0,-2), \qquad B(3,2,1), \qquad C(2,-1,4) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(2,2,3) \]

\[ \overrightarrow{AC}=(1,-1,6) \]

Producto escalar:

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2\cdot1+2\cdot(-1)+3\cdot6 = 18 \]

Producto vectorial:

\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (15,-9,-4) \]

Este vector es perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\), por lo que servirá como vector normal del plano que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejemplo de la biblioteca PAU

Perpendicularidad y vector unitario

Castilla y León · 2019 · Extraordinaria

El problema combina dos ideas esenciales del tema: imponer un producto escalar nulo y normalizar un producto vectorial.

\[ \vec u=(1,1,a), \qquad \vec v=(1,-1,a) \]

\[ \vec u\cdot\vec v = 1-1+a^2 = a^2 \]

\[ a^2=0 \Longrightarrow \boxed{a=0} \]

Para obtener un vector unitario perpendicular a dos vectores, primero se calcula su producto vectorial y después se divide entre su módulo.

Biblioteca DavidSO Math Engine Perpendicularidad y vector unitario Resolución completa con producto escalar, producto vectorial y normalización. Resolver el problema completo →

Qué debes recordar

Cada producto responde a una pregunta geométrica distinta

El producto escalar mide relación angular, el vectorial proporciona una dirección perpendicular y el mixto permite estudiar coplanaridad y volumen.

MóduloLongitud del vector.

EscalarÁngulos y perpendicularidad.

VectorialPerpendicularidad y áreas.

MixtoCoplanaridad y volúmenes.

Errores frecuentes

Restar origen menos extremo\(\overrightarrow{AB}\) se obtiene haciendo \(B-A\).

Usar barras simples para el móduloEn estas páginas escribimos \(\|\vec u\|\) para diferenciarlo de los determinantes.

Olvidar el caso paraleloSi los vectores son paralelos, su producto vectorial es \(\vec0\).

Resumen del tema

Los vectores del espacio tienen tres coordenadas. Las operaciones básicas se realizan coordenada a coordenada. El módulo mide longitud; los productos escalar, vectorial y mixto permiten estudiar ángulos, perpendicularidad, áreas, coplanaridad y volúmenes.

Debes saber

Calcular \(\overrightarrow{AB}\).
Operar con vectores.
Calcular y normalizar módulos.
Aplicar productos escalar y vectorial.
Utilizar el producto mixto.