1 – Ventana con semicírculo
Andalucía · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo.
Sabiendo que el perímetro de la ventana mide \(8\) metros, hallar las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.
🟠 Comprensión del enunciado
La ventana está formada por dos figuras:
- Un rectángulo.
- Un semicírculo colocado sobre el rectángulo.
Llamamos:
- \(x\): anchura de la ventana, que coincide con el diámetro del semicírculo.
- \(y\): altura del rectángulo.
Entonces el radio del semicírculo es:
\[
r=\frac{x}{2}
\]
La mayor entrada de luz se consigue cuando el área total de la ventana es máxima.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Problemas de optimización.
- Área de un rectángulo.
- Área de un semicírculo.
- Perímetro de una figura compuesta.
- Máximos mediante derivadas.
El área que debemos maximizar es:
\[
A=A_{\text{rectángulo}}+A_{\text{semicírculo}}
\]
La condición del perímetro permitirá escribir el área en función de una sola variable.
🟢 Estrategia de resolución
La anchura del rectángulo es \(x\), y su altura es \(y\).
El perímetro exterior de la ventana está formado por:
- La base inferior del rectángulo: \(x\).
- Los dos lados verticales del rectángulo: \(2y\).
- El arco del semicírculo: \(\pi r=\pi\frac{x}{2}\).
Por tanto:
\[
x+2y+\frac{\pi x}{2}=8
\]
Despejaremos \(y\) en función de \(x\) y sustituiremos en el área:
\[
A(x)=xy+\frac{1}{2}\pi r^2
\]
Después derivaremos \(A(x)\), igualaremos a cero y comprobaremos que se obtiene un máximo.
🟣 Resolución paso a paso
Planteamiento del perímetro
Llamamos:
- \(x\): anchura de la ventana.
- \(y\): altura del rectángulo.
Como el semicírculo está sobre el rectángulo, su diámetro es \(x\), luego:
\[
r=\frac{x}{2}
\]
El perímetro exterior de la ventana es:
\[
x+2y+\pi r=8
\]
Sustituimos \(r=\frac{x}{2}\):
\[
x+2y+\frac{\pi x}{2}=8
\]
Despejamos \(y\):
\[
2y=8-x-\frac{\pi x}{2}
\]
\[
y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}
\]
\[
y=4-\frac{(2+\pi)x}{4}
\]
Área de la ventana
El área total es la suma del área del rectángulo y del área del semicírculo:
\[
A=xy+\frac{1}{2}\pi r^2
\]
Sustituimos \(r=\frac{x}{2}\):
\[
A=xy+\frac{1}{2}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2
\]
\[
A=xy+\frac{\pi x^2}{8}
\]
Sustituimos la expresión de \(y\):
\[
A(x)=x\left(4-\frac{(2+\pi)x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}
\]
Desarrollamos:
\[
A(x)=4x-\frac{(2+\pi)x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{8}
\]
Unificamos los términos cuadráticos:
\[
A(x)=4x-\left(\frac{2+\pi}{4}-\frac{\pi}{8}\right)x^2
\]
\[
A(x)=4x-\frac{4+\pi}{8}x^2
\]
Maximización del área
Derivamos:
\[
A'(x)=4-\frac{4+\pi}{4}x
\]
Igualamos a cero:
\[
4-\frac{4+\pi}{4}x=0
\]
\[
4=\frac{4+\pi}{4}x
\]
\[
16=(4+\pi)x
\]
\[
x=\frac{16}{4+\pi}
\]
Calculamos ahora \(y\):
\[
y=4-\frac{(2+\pi)x}{4}
\]
Sustituimos \(x=\frac{16}{4+\pi}\):
\[
y=4-\frac{2+\pi}{4}\cdot\frac{16}{4+\pi}
\]
\[
y=4-\frac{4(2+\pi)}{4+\pi}
\]
\[
y=\frac{4(4+\pi)-4(2+\pi)}{4+\pi}
\]
\[
y=\frac{8}{4+\pi}
\]
Además:
\[
A''(x)=-\frac{4+\pi}{4}<0
\]
Por tanto, el área alcanza un máximo.
Respuesta: las dimensiones que permiten la mayor entrada de luz son
\[
\boxed{x=\frac{16}{4+\pi}\text{ m}}
\]
para la anchura de la ventana, y
\[
\boxed{y=\frac{8}{4+\pi}\text{ m}}
\]
para la altura del rectángulo.
El radio del semicírculo es
\[
\boxed{r=\frac{8}{4+\pi}\text{ m}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un problema de optimización, primero hay que identificar qué magnitud se quiere maximizar o minimizar.
- La mayor entrada de luz corresponde a maximizar el área de la ventana.
- El perímetro exterior no incluye el diámetro del semicírculo dos veces: ese segmento queda dentro de la figura.
- La condición de perímetro permite escribir el área en función de una sola variable.
- Si la segunda derivada es negativa, el punto crítico corresponde a un máximo.