1 – Coste mínimo con máquinas
Navarra · 2025 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Para la realización de un trabajo se precisan \(80\) horas haciendo uso de una sola máquina.
Cada máquina en funcionamiento genera unos gastos de \(10\) euros por puesta en marcha y otros \(5\) euros por cada hora de uso. Además, por cada hora que dure el trabajo hay que pagar \(18\) euros a un único operario que supervisa la tarea.
El tiempo necesario para realizar el trabajo es inversamente proporcional al número de máquinas empleadas.
Calcular el número de máquinas que se deben usar para que el gasto sea mínimo. Justificar su condición de mínimo. (2,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Con una sola máquina, el trabajo tarda:
\[
80\text{ horas}
\]
Si se usan \(x\) máquinas, el tiempo se reduce de forma inversamente proporcional:
\[
t=\frac{80}{x}
\]
Los costes son:
- 10 euros por poner en marcha cada máquina.
- 5 euros por cada hora de uso de cada máquina.
- 18 euros por cada hora de trabajo del operario.
La variable \(x\) representa el número de máquinas empleadas, por lo que debe ser positiva.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Problemas de optimización.
- Funciones racionales.
- Derivadas.
- Condición de mínimo mediante segunda derivada.
La clave es construir una función de coste total en función del número de máquinas.
🟢 Estrategia de resolución
Llamamos:
\[
x=\text{número de máquinas empleadas}
\]
Entonces el tiempo de trabajo será:
\[
t=\frac{80}{x}
\]
Construiremos el coste total sumando:
- Coste de puesta en marcha de las máquinas.
- Coste por horas de uso de las máquinas.
- Coste del operario.
Después derivaremos la función coste y buscaremos el valor de \(x\) que la hace mínima.
🟣 Resolución paso a paso
Función de coste
Si usamos \(x\) máquinas, el tiempo necesario es:
\[
t=\frac{80}{x}
\]
El coste de puesta en marcha de las máquinas es:
\[
10x
\]
El coste por uso de las máquinas es:
\[
5\cdot x\cdot \frac{80}{x}=400
\]
Este coste es constante, porque al usar más máquinas disminuye proporcionalmente el tiempo de uso.
El coste del operario es:
\[
18\cdot \frac{80}{x}=\frac{1440}{x}
\]
Por tanto, la función coste total es:
\[
C(x)=10x+400+\frac{1440}{x}
\]
Minimización del coste
Derivamos:
\[
C'(x)=10-\frac{1440}{x^2}
\]
Igualamos a cero:
\[
10-\frac{1440}{x^2}=0
\]
\[
10=\frac{1440}{x^2}
\]
\[
10x^2=1440
\]
\[
x^2=144
\]
\[
x=12
\]
Tomamos \(x=12\), porque el número de máquinas debe ser positivo.
Justificamos que es un mínimo mediante la segunda derivada:
\[
C''(x)=\frac{2880}{x^3}
\]
Como:
\[
C''(12)>0
\]
el coste alcanza un mínimo para \(x=12\).
El tiempo de trabajo con 12 máquinas sería:
\[
t=\frac{80}{12}=\frac{20}{3}\text{ horas}
\]
El coste mínimo sería:
\[
C(12)=10\cdot12+400+\frac{1440}{12}
\]
\[
C(12)=120+400+120=640
\]
Respuesta: se deben utilizar
\[
\boxed{12\text{ máquinas}}
\]
y el gasto mínimo será
\[
\boxed{640\text{ euros}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si el tiempo es inversamente proporcional al número de máquinas, entonces \(t=\frac{80}{x}\).
- El coste por uso de las máquinas resulta constante: \(5\cdot x\cdot\frac{80}{x}=400\).
- El coste variable depende de la puesta en marcha y del tiempo del operario.
- Para minimizar una función se deriva, se iguala a cero y se comprueba la segunda derivada.
- La solución debe tener sentido en el contexto: el número de máquinas debe ser positivo.