E5 – Estudio completo de (f(x)=xe^x)
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada \(f(x)=xe^x\), determinar su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio y continuidad.
- Derivadas, monotonía y extremos.
- Asíntotas y representación de funciones.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Dominio y asíntotas
El dominio es \(\mathbb R\). Cuando \(x\to-\infty\), \(xe^x\to0^-\), por lo que \(y=0\) es asíntota horizontal a la izquierda. No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Monotonía y extremos
\[
f'(x)=e^x(x+1).
\]
Como \(e^x>0\), \(f'\) cambia de negativa a positiva en \(x=-1\). La función decrece en \((-\infty,-1)\), crece en \((-1,\infty)\) y tiene un mínimo en
\[
\boxed{\left(-1,-\frac1e\right)}.
\]
Curvatura
\[
f''(x)=e^x(x+2).
\]
Es cóncava hacia abajo en \((-\infty,-2)\), convexa en \((-2,\infty)\) y tiene un punto de inflexión en
\[
\boxed{\left(-2,-\frac2{e^2}\right)}.
\]
Además corta ambos ejes en \((0,0)\).
Representación de (f(x)=xe^x)
La curva se aproxima al eje \(OX\) por debajo cuando \(x\to-\infty\), alcanza el mínimo en \(x=-1\) y después crece sin cota.
Qué debes aprender de este problema
- El factor (e^x) es siempre positivo y simplifica los estudios de signo.
- La primera derivada localiza extremos y la segunda estudia la curvatura.
- La representación debe reunir asíntotas, cortes y puntos notables.