E6 – Límite por L’Hôpital e integral por partes
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}\). (1 punto)
- Calcular \(\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Primitivas.
- Integración por partes o cambio de variable.
- Regla de Barrow y cálculo de áreas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Regla de L’Hôpital
La sustitución da \(0/0\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x^2}
=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}.
\]
Sigue siendo \(0/0\), así que aplicamos L’Hôpital de nuevo:
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\boxed{\frac12}.
\]
b) Primitiva por partes y Barrow
Primero calculamos la indefinida. Tomamos \(u=x\), \(dv=e^x\,dx\); entonces \(du=dx\), \(v=e^x\):
\[
\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=e^x(x-1)+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\int_0^1xe^x\,dx=\left[e^x(x-1)\right]_0^1=0-(-1)=\boxed{1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- L’Hôpital puede aplicarse sucesivamente mientras persista una indeterminación válida.
- En la integral por partes se elige (u=x) para que su derivada sea más simple.
- La integral definida se evalúa después de calcular la primitiva.