E7 – Área entre una raíz y una parábola
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las curvas \(y=\sqrt{3x}\) e \(y=\dfrac{x^2}{3}\):
- Dibujarlas y señalar el recinto comprendido entre ambas. (1 punto)
- Calcular el área del recinto. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Puntos de corte y posición
Como \(\sqrt{3x}\) exige \(x\ge0\), igualamos y elevamos al cuadrado:
\[
\sqrt{3x}=\frac{x^2}{3}
\Longrightarrow 3x=\frac{x^4}{9}
\Longrightarrow x(x^3-27)=0.
\]
Los cortes son \((0,0)\) y \((3,3)\). En \(0 \[ \[ \[
Área
A=\int_0^3\left(\sqrt{3x}-\frac{x^2}{3}\right)dx.
\]
\int\sqrt{3x}\,dx=\sqrt3\,\frac{2}{3}x^{3/2},\qquad
\int\frac{x^2}{3}\,dx=\frac{x^3}{9}.
\]
A=\left[\frac{2\sqrt3}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{9}\right]_0^3
=6-3=\boxed{3}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Al elevar al cuadrado hay que respetar el dominio de la raíz.
- Una comprobación interior determina qué curva es la superior.
- El área entre curvas se calcula como superior menos inferior.