E8 – Área polinómica y límite trigonométrico
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Hallar el área limitada por \(f(x)=x^3-4x\), el eje \(OX\) y las rectas \(x=0\), \(x=2\). (1 punto)
- Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{2-2\cos x}\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Área
\[
f(x)=x(x-2)(x+2)\le0\quad\text{en }[0,2].
\]
Por tanto,
\[
A=-\int_0^2(x^3-4x)\,dx
=-\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_0^2
=-\,(4-8)=\boxed{4}.
\]
b) Límite por L’Hôpital
La forma es \(0/0\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x+x\cos x}{2\sin x}.
\]
Persiste \(0/0\); aplicamos de nuevo:
\[
\lim_{x\to0}\frac{2\cos x-x\sin x}{2\cos x}=\boxed{1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El signo de la función determina si hay que cambiar el signo de la integral.
- L’Hôpital exige comprobar la indeterminación en cada aplicación.
- La respuesta de un área se expresa siempre como cantidad positiva.