E9 – Calidad y defectos de herramientas
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Una empresa fabrica herramientas de calidad alta (\(10\%\)), estándar (\(70\%\)) y baja (\(20\%\)). Son defectuosas, respectivamente, el \(1\%\), \(10\%\) y \(30\%\) de las herramientas de cada calidad.
- Calcular la probabilidad de que una herramienta elegida al azar sea defectuosa. (1 punto)
- Sabiendo que es defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de calidad estándar. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos \(A,S,B\) para las tres calidades y \(D\) para «defectuosa». Los porcentajes de defectuosas son probabilidades condicionadas por la calidad.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Árbol de probabilidades.
- Probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad total
\[
P(D)=0{,}10\cdot0{,}01+0{,}70\cdot0{,}10+0{,}20\cdot0{,}30
=0{,}001+0{,}070+0{,}060=\boxed{0{,}131}.
\]
b) Bayes
\[
P(S\mid D)=\frac{P(S)P(D\mid S)}{P(D)}
=\frac{0{,}70\cdot0{,}10}{0{,}131}
=\boxed{\frac{70}{131}\approx0{,}5344}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los porcentajes de defectos son condicionados a cada calidad.
- La probabilidad total combina las tres líneas de producción.
- Bayes permite inferir la calidad a partir del defecto observado.