E8 – Área entre una parábola y una cúbica
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas \(f(x)=-x^2\) y \(g(x)=x^3\):
- Comprobar que sus gráficas en \([-1,0]\) solo se cortan en \(x=-1\) y \(x=0\), y demostrar que \(g(x)\ge f(x)\) en ese intervalo. (1 punto)
- Hallar el área del recinto limitado por ambas gráficas. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cortes y orden
\[
x^3=-x^2\quad\Longleftrightarrow\quad x^2(x+1)=0,
\]
luego los cortes son \(x=-1\) y \(x=0\). Además, en \([-1,0]\), \(x^2\ge0\) y \(x+1\ge0\), por lo que
\[
g(x)-f(x)=x^3+x^2=x^2(x+1)\ge0.
\]
b) Área
\[
A=\int_{-1}^{0}(g-f)\,dx=\int_{-1}^{0}(x^3+x^2)\,dx.
\]
\[
A=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}
=0-\left(\frac14-\frac13\right)=\boxed{\frac1{12}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Las intersecciones se obtienen igualando las funciones.
- El área entre curvas es la integral de función superior menos inferior.
- Factorizar la diferencia permite justificar el orden de las gráficas.